高一数学集合与函数知识点总结.docVIP

高中课程复习专题——数学集合与函数专题

一、集合相关概念

1、集合中元素的特性

⑴元素确实定性：组成集合的元素必须是确定的。

⑵元素的互异性：集合中不得有重复的元素。

⑶元素的无序性：集合中元素的排列不遵循某种顺序，是随意排列的。

2、集合的表示方法

(1)列举法：将集合中元素一一列出。

(2)描述法：将集合中元素的公共属性用语言描述出来。

(3)图示法：用韦恩图直观的画出集合中的元素。

3、集中特殊数集的表示方法

自然数集：N正整数集：N+整数集：Z

有理数集：Q实数集：R空集：Φ

二、集合间的根本关系——子集与真子集

1、自反性——任何一个集合都是它本身的子集：A?A。

2、如果A?B且A≠B，那么，A是B的真子集。

3、传递性：如果A?B，B?C，那么A?C。

4、如果A?B且B?A，那么A=B。

5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

6、有n个元素的集合，有2n个子集，有2n-1个真子集。

三、集合间的运算

类型

交集

并集

补集

定

义

由所有属于集合A且属于集

合B的元素组成的集合称为

A和B的交集〔A∩B〕。

即A∩B={x∣x∈A且x∈B}

由所有属于集合A或属于集

合B的元素组成的集合称为

A和B的并集〔A∪B〕。

即A∪B={x∣x∈A或x∈B}

设S是一个集合，A是S的一个子

集，由S中不属于A的元素组成的

集合称为S中A的补集〔CSA〕。

即CSA={x∣x∈S且xA}

图

示

性质

A∩A=A

A∩Φ=Φ

A∩B=B∩A

A∩B?A

A∩B?B

A∪A=A

A∪Φ=A

A∪B=B∪A

A?A∪B

B?A∪B

CSA∩CSB=CS〔A∪B〕

CSA∪CSB=CS〔A∩B〕

A∪CSA=S

A∩CSA=Φ

四、函数的相关概念

1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。

★2、函数定义域的解题思路：

⑴假设x处于分母位置，那么分母x不能为0。

⑵偶次方根的被开方数不小于0。

⑶对数式的真数必须大于0。

⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

⑸指数为0时，底数不得为0。

⑹如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的，那么，它的定义域是各个局部都有意义的x值组成的集合。

⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

3、相同函数

⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。

⑵定义域一致，对应法那么一致。

4、函数值域的求法

⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四那么运算得到的函数。

⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。

⑷代换法：主要用于由值域的函数推测未知函数的值域。

5、函数图像的变换

⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

⑵伸缩变换：在x前加上系数。

⑶对称变换：高中阶段不作要求。

6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一确实定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。

⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。

⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

7、分段函数

⑴在定义域的不同局部上有不同的解析式表达式。

⑵各局部自变量和函数值的取值范围不同。

⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。

8、复合函数：如果〔u∈M〕，u=g(x)〔x∈A〕,那么，y=f[g(x)]=F(x)〔x∈A〕，称为f、g的复合函数。

★五、函数的性质

1、函数的局部性质——单调性

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么y=f(x)在区间D上是增函数，D是函数y=f(x)的单调递增区间；当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。

⑴函数区间单调性的判断思路