高二【数学(人教A版)】用空间向量研究距离夹角问题(2)4.docx

课程基本信息

课例编号

2020QJ11SXRA011

学科

数学

年级

高二

学期

上学期

课题

用空间向量研究距离、夹角问题（2）

教科书

书名：《数学》选择性必修第一册

出版社：人教社出版日期：年月

教学人员

姓名

单位

授课教师

刘兴华

北京景山学校

指导教师

雷晓莉

北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：能用向量方法求两条直线所成的角、直线和平面所成的角，使用线线角、线面角的向量表达式，解决立体几何中有关角度的度量问题，提升直观想象、数学运算等素养．

教学重点：用向量的数量积运算表示两条直线所成的角、直线和平面所成的角计算公式．

教学难点：根据问题的条件选择适当的基底．

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

在前面课程中，我们学习了用空间向量求距离．

夹角问题是立体几何中另一个基本度量．本节课我们继续用空间向量方法研究空间中的角．角度是对两个方向差的度量，向量是有方向的量，利用向量研究角度问题有其独特的优势．

请看下面的问题：

例如图，在棱长为１的正四面体ABCD（四个面都是正三角形）中，M，N分别为BC，

求直线AM与CN

求直线CN与平面BCD所成角的正弦值.

在这道例题中，我们要求两条直线，这里是异面直线的夹角，以及直线与平面所成的角．

两条直线的夹角、直线与平面所成的角是立体几何中要解决的，两类重要的角度度量问题．接下来，我们一起研究这两类角．

问题1如何用空间向量求两条直线的夹角？

我们沿着这样的研究路径进行：回顾两条直线夹角的定义，明确两条直线夹角的取值范围，最后讨论两条直线夹角的向量求法．

师：两条直线夹角的定义是什么？

生：空间中两条直线的位置关系包括：平行直线、相交直线和异面直线．

规定：两条平行直线的夹角为0°．

两条相交直线夹角的定义：平面内，两条直线相交形成4个角，其中不大于90度的角称为这两条直线所成的角（或夹角）．

两条异面直线夹角的定义：空间中，空间中，两条异面直线l1，l2，经过空间任一点O分别作直线l1

师：这个定义中，空间中两条异面直线所成的角是通过平移转化为平面内两条相交直线所成的角，体现了从高维向低维转化的思想．

师：根据前面的定义两条直线夹角的取值范围是怎样的？

生：空间中两条直线夹角的取值范围是．

特别的，两条异面直线的夹角的取值范围是．

师：两条直线方向向量的夹角u?，v与两直线的夹角

生：θ=

师：进一步，可得cos

师：请同学们思考用空间向量方法求直线AM和CN夹角的余弦值．

生：可以将直线AM和CN的夹角转化为求CN与MA的夹角．

师：如何表示CN与MA，才能方便计算它们的夹角呢？

生：我们尝试使用以下两种方法：

方法1建立一个基底；方法2建立空间直角坐标系

师生分析：按照方法1，如何确定基底？

不妨选取{CA，?CB，CD

按照方法2，如何建立空间直角坐标系？

取BD中点O，过O作OE⊥平面BCD，以O为原点，OC，OD，OE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

建系方式不唯一．

师生共同整理具体解答过程：

解法1：（向量法）第一步，将几何问题化为向量问题，

以{CA，?CB，CD}?作为基底，则

设向量CN与?MA的夹角为θ，则直线AM和CN夹角的余弦值等于cos

第二步，进行向量运算，

CN

=1

又因为△ABC和△ACD均为等边三角形，

所以CN

所以cos

第三步，回到图形问题，

所以直线AM和CN夹角的余弦值等于23

解法2：（坐标法）请同学们课后自行完成．

小结：空间向量求两条直线l1,l2的夹角

无论是采用基底向量线性组合表示直线的方向向量，还是坐标表示直线的方向向量，都可以通过求方向向量夹角的余弦值得到两直线所成角的余弦值．

有了向量工具，两条直线的方向能用它们的方向向量表示，利用向量方法就能得到这两条异面直线的夹角，而不需要平移，既体现“角”表示方向的本质，也简化了求解过程．

问题2：如何求直线与平面所成的角？

类比两条直线夹角的研究过程，我们尝试用相同的研究路径．

直线与平面所成角的定义——直线与平面所成角的取值范围——直线与平面所成角的向量求法

首先回顾直线与平面所成角的定义，包含了这样几种情况：

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为90度；

一条直线与平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为；

一条直线l与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.

师：斜线与平面所成的角的定义是什么？

生：过斜线l上斜足B外一点A向平面α引垂线AC，过垂足C和斜足B的直线BC叫做斜线l在平面α上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线