高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义2.8直线与圆锥曲线的位置关系(3知识点+8题型+巩固训练)(学生版+解析).docxVIP

2.8直线与圆锥曲线的位置关系

课程标准

学习目标

理解直线与圆锥曲线的位置关系

2.会进行直线与圆锥曲线的位置关系的判断，能够计算弦长

重点：理解直线与圆锥曲线的位置关系，会判定及应用

难点：应用代数方法对直线与圆锥曲线的位置关系进行判定，相关计算的准确性

知识点01直线与圆锥曲线的位置关系的判定

(1)代数法:把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程ax2

方程ax2

l

a=0

b

无解（含l是双曲线的渐近线）

无公共点

b

有一解（含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐进性平行）

一个交点

a≠0

?0

两个不等的解

两个交点

?=0

两个相等的解

一个切点

?0

无实数解

无公共点

(2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系

【即学即练1】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线C:x2a?y212=1a0，过右焦点F

A．916,64 B．94,64 C．

【即学即练2】（2024高二上·江苏·专题练习）设F1、F2分别是椭圆x2

A．?2,?32

C．?2,?32∪

知识点02直线与圆锥曲线的相交弦长

1.设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)eq\r(1＋k2)·|x1－x2|eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(Δ),|a|)

2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长AB|x1＋x2＋peq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角).

【即学即练3】（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆C过点A0,3，离心率为1

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为32的直线与曲线C相交于点D，E，弦长DE

【即学即练4】（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线C:x2a2

(1)求双曲线C的方程；

(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ

知识点03中点弦的重要结论

AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)弦中点M(

则弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心0的连线的斜率之积为定值e2

【即学即练5】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点A,B为抛物线y2=2x

A．1 B．32 C．53

【即学即练6】（21-22高二上·北京·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的右焦点为F1,0，离心率为

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

(3)若点P是椭圆C上一动点，当直线l的斜率为1时，求△ABP

难点：数形结合的运用

示例1：（22-23高二上·广东深圳·期末）已知椭圆C:x2a2

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l与椭圆C交于不同的M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列．椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OMPN为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【题型1：直线与圆锥曲线的交点】

例1．（22-23高二·全国·课堂例题）已知双曲线C:x2

变式1．（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线l:y=

变式2.（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F

(1)求椭圆E的标准方程：

(2)若PF2⊥F1

(3)若直线l1

变式3．（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知曲线M是平面内到1,0和?1,0的距离之和为4的点的轨迹.

(1)求曲线M的方程；

(2)过点F1,0作斜率不为0的直线l交曲线M于A，B两点，交直线x=4于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段

变式4.（2024高二上·全国·专题练习）已知直线y=x+

(1)若它们有两个公共点，求m的取值范围；

(2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标.

变式5．（23-24高二上·天津·期末）已知?圆C：x2a2+y2b

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线AP与椭圆C交于点P（异于顶点）与y轴交于点M，点F为椭圆的右焦点，O为坐标原点，MF⊥OP，求直线

变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知双曲线x2a2?y2b

??

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设直线PA1,PA

(3)若△PA1

变式7．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知直线l与抛物线E:y2

(1)求直线l的斜率