2025年高考数学二轮复习提升版学案 微切口4　新定义数列.pptxVIP

专题二特别策划——赢在中档题之高考微切口数列微切口4新定义数列

视角1类等差等比数列(2024·烟台、德州一模)(多选)给定数列{an}，定义差分运算：Δan＝an＋1－an，Δ2an＝Δan＋1－Δan，n∈N*．若数列{an}满足an＝n2＋n，数列{bn}的首项为1，且Δbn＝(n＋2)·2n－1，n∈N*，则 ()A．存在M＞0，使得Δan＜M恒成立B．存在M＞0，使得Δ2an＜M恒成立C．对任意M＞0，总存在n∈N*，使得bn＞M1BC

【解析】对于A，由an＝n2＋n，得Δan＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，显然Δan有最小值4，无最大值，因此不存在M＞0，使得Δan＜M恒成立，A错误；对于B，由A中分析知Δan＝2n＋2，则Δ2an＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2，显然当M＞2时，Δ2an＜M恒成立，B正确；

由bn＋1－bn＝(n＋2)·2n－1＞0，得数列{bn}是递增数列，bn有最小值1，无最大值，从而对任意M＞0，总存在n∈N*，使得bn＞M，C正确；

【解析】399

视角2取整函数型数列2B

【解析】由an＋2＋4an＝5an＋1，得an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，又a2－a1＝5－1＝4，所以数列{an＋1－an}是以4为首项和公比的等比数列，故an＋1－an＝4n．

【解析】因为a1＝2，a2＝5，an＋2＋4an＝5an＋1，所以an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，a2－a1＝3，所以{an＋1－an}是以3为首项，4为公比的等比数列，所以an＋1－an＝3·4n－1，257{n|1012≤n≤2023，n∈N*}

又因为log4an＋1＝log4(4n＋1)∈(n，n＋1)，所以bn＝[log4an＋1]＝n，

视角3图表中的数列问题(1)(2024·枣庄一模)(多选)将数列{an}中的所有项排成如下数阵：从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数a1，a2，a5，…成等差数列．若a2＝2，a10＝8，则 ()A．a1＝－1C．a2024位于第45行第88列D．2024在数阵中出现两次3ACDa1a2a3a4a5a6a7a8a9…

【解析】由第1列数a1，a2，a5，a10，…成等差数列，设公差为d，且a2＝2，a10＝8，可得a1＋d＝2，a1＋3d＝8，解得a1＝－1，d＝3，则第一列第k行的通项公式为ak＝－1＋(k－1)×3＝3k－4．又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，可得a2＋a3＋…＋a9＝2＋4＋8＋5＋10＋20＋40＋80＝169，故A正确，B错误．又因为每一行的最后一个数为a1，a4，a9，a16，…，且452＝2025，可得a2024是a2025的前一个数，且a2025在第45行，因为这一行共有2×45－1＝89个数，所以a2024在第45行的第88列，故C正确．由题设可知第i行第j个数为(3i－4)×2j－1，令(3i－4)×2j－1＝2024＝253×23，若j＝1，则3i－4＝2024，即i＝676；若j＝2，则3i－4＝1012，无整数解；若j＝3，则3i－4＝506，即i＝170；若j＝4，则3i－4＝253，无整数解，故D正确．

(2)(多选)如图，等边三角形ABC的边长为2，取等边三角形ABC各边的中点D，E，F，作第2个等边三角形DEF，然后再取等边三角形DEF各边的中点G，H，I，作第3个等边三角形GHI，依此方法一直继续下去．设等边三角形ABC的面积为a1，后继各等边三角形的面积依次为a2，a3，…，an，则下列结论正确的是()3ACD

【解析】

配套热练

C

【解析】故[a1]＋[a2]＋…＋[a100]＝3×1＋5×2＋7×3＋9×4＋11×5＋13×6＋15×7＋17×8＋19×9＋10＝625．

A

【解析】bn＝an＋1－an＝(n＋3)(n＋2)(n＋1)－(n＋2)(n＋1)n＝3(n＋2)(n＋1)，cn＝bn＋1－bn＝3(n＋3)(n＋2)－3(n＋2)(n＋1)＝6(n＋2)，不为常数，故A错误；dn＝cn＋1－cn＝6(n＋3)－6(n＋2)＝6，为非零常数，故{an}为三阶等差数列，故B正确.

3．(多选)(多选)以下为自然数从小到大依次排成的数阵：?????第n行有2n－1个数，则 ()A．该数阵第n行第一个数为2n－1 B．该数阵第n行最后一个数为2n－1C．该数阵前n行共有2n－1个数 D．该数阵前n行所有数的和为22n－2nABC1???????23??????4567????89