第5讲 一次方程(组)及其应用-2025年九年级中考数学第一轮专题复习讲义（浙教版专用）.docx

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第二单元方程(组)与不等式(组)

《第5讲一次方程(组)及其应用》

【知识梳理】

1.等式的概念和等式的性质

(1)等式:表示相等关系的式子，叫做等式.

(2)等式的性质:

①等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得结果仍是等式.用字母可以表示为:如果a＝b，那么a±c＝b±c.?

②等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式.用字母可以表示为:如果a＝b，那么ac＝bc，或ac＝?bc(c≠0

2.方程的有关概念

(1)方程:含有未知数的等式叫做方程.?

(2)方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.?

(3)解方程:通过运算将方程一步一步变形，最后变形成“x＝a(a为已知数)”的形式，就求出了未知数的值，即方程的解，这一过程叫做解方程.

(4)一元一次方程:两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程.?

(5)二元一次方程:含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.?

(6)二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.任何一个二元一次方程都有无数个解.?

3.一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤:

(1)去分母:将方程的两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘.?

(2)去括号:注意括号前的系数与符号.?

(3)移项:一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边.?

(4)合并同类项:把方程化成ax＝b(a≠0)的形式.?

(5)两边同除以未知数的系数:方程两边同除以x的系数a，得x＝ba(a≠0)的形式

4.二元一次方程组的解法

(1)常用方法:代入消元法，加减消元法.?

(2)二元一次方程组的解应写成x＝a

5.一次方程(组)的应用

列方程(组)解应用题的一般步骤:

(1)审:分析题意，找出题中的数量及其关系.

(2)设:选择适当的未知数，用字母表示.

(3)列:根据相等关系列出方程(组).

(4)解:解方程(组)，求出未知数的值.

(5)验:检验方程(组)的解是否正确和符合实际情形.

(6)答:写出答案(包括单位).

【考题探究】

类型一一次方程(组)的有关概念

【例1】若关于x的方程4－x2＋a＝4的解是x＝2，则a的值为

【解析】把x＝2代入方程4－x2＋a＝4，得4－22＋a

变式1已知关于x的一元一次方程2xa－2＋m＝4的解为x＝1，则a＋m的值为(C)

A.9 B.8

C.5 D.4

【解析】由题意，得a－2＝1，2＋m＝4，

解得a＝3，m＝2，

∴a＋m＝3＋2＝5.

【例2】已知x＝1，y＝2是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5的值为

【解析】把x＝1，y＝2代入ax＋by＝3，得a

∴原式＝2(a＋2b)－5＝2×3－5＝6－5＝1.

变式2已知x＝3，y＝1是关于x，y的二元一次方程组ax＋by＝7，ax

类型二一次方程(组)的解法

【例3】[2024·新疆]解方程:2(x－1)－3＝x.

解:去括号，得2x－2－3＝x.

移项，得2x－x＝2＋3.

合并同类项，得x＝5.

变式3解下列方程:

(1)2(x＋1)＝1－(x＋3).

解:去括号，得2x＋2＝1－x－3.

移项，合并同类项，得3x＝－4，

解得x＝－43

(2)5x－7

解:去分母，得2(5x－7)＋12＝3(3x－1).

去括号，得10x－14＋12＝9x－3.

移项，合并同类项，得x＝－1.

【例4】[2024·浙江]解方程组:2

解:2

①×3＋②，得10x＝5，

解得x＝12

把x＝12代入①，得2×12－y

解得y＝－4，

∴方程组的解是x

变式4解下列方程组:

(1)[2023·台州]x

解:(1)x

①＋②，得3x＝9，解得x＝3.

把x＝3代入①，得3＋y＝7，解得y＝4，

∴原方程组的解为x

(2)[整体思想]2

解:2

把①代入②，得2[2(2x＋1)]－3(2x＋1)＝3，解得x＝1.

把x＝1代入①，得y＝4，

∴原方程组的解为x

类型三一次方程(组)的应用

【例5】[2023·丽水]古代中国的数学专著《九章算术》中有一题:“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何?”意思是:今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两(古代中国1斤等于16两).今有干丝12斤，问原有生丝多少?则原有生丝为?967斤

【解析】设原有生丝为x斤，则x12

解得x＝967

故原有生丝为967斤

变式5－1元朝朱世杰的《算学启蒙》一