第13讲 二次函数的图象与性质(一) -2025年九年级中考数学第一轮专题复习讲义（浙教版专用）.docx

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第三单元函数及其图象

《第13讲二次函数的图象与性质(一)》

【知识梳理】

1.二次函数的概念

定义:一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.?

2.二次函数的图象

(1)二次函数的图象:以?－b2a，4ac－b24

(2)用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的步骤:

①列自变量x与函数y的对应值表.

②描点，并用光滑的曲线顺次连结各点.

3.二次函数的性质

函数

二次函数y＝ax2＋bx＋c

(a，b，c为常数，a≠0)

条件

a＞0

a＜0

图象

b2－4ac＞0

b2－4ac＝0

b2－4ac＜0

开口方向

向上

向下

增减性

当x≤－b2a时，y随x的增大而减小;当x≥－b2a时，y随x的增大而

当x≤－b2a时，y随x的增大而增大;当x≥－b2a时，y随x的增大而

最大(小)值

当x＝－b2a时，y达到最小值:y＝4ac－b2

当x＝－b2a时，y达到最大值:y＝4ac－b2

4.二次函数图象的平移

将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)均可由y＝ax2平移得到，具体平移方法如下:?

【考题探究】

类型一二次函数的图象与性质

【例1】[2024·贵州]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(D)

典例1图

A.二次函数图象的对称轴是直线x＝1

B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2

C.当x＜－1时，y随x的增大而减小

D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3

【解析】∵顶点坐标为(－1，4)，

∴对称轴为直线x＝－1，A错误.

由对称性可知，(－3，0)关于直线x＝－1的对称点为(1，0)，B错误.

∵抛物线开口向下，当x＜－1时，y随x的增大而增大，C错误.

设二次函数表达式为y＝a(x＋1)2＋4，

将点(－3，0)代入，得a＝－1，

∴y＝－(x＋1)2＋4.

令x＝0，得y＝3，

∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3.D正确.

变式1－1已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B的左侧，下列说法中，正确的是(D)

A.若c＜0，则a＜c＜b

B.若c＜0，则a＜b＜c

C.若c＞0，则a＜c＜b

D.若c＞0，则a＜b＜c

【解析】由题意得，该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大;当x＜1时，y随x的增大而减小.

∵点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在该抛物线上，点A在点B的左侧，

∴若c＜0，则c＜a＜b，故A，B均不符合题意.

若c＞0，则a＜b＜c，故C不符合题意，D符合题意.

变式1－2[2024·福建]已知二次函数y＝x2－2ax＋a(a≠0)的图象经过Aa2，y1，B(3a，y

A.可以找到一个实数a，使得y1＞a

B.无论实数a取什么值，都有y1＞a

C.可以找到一个实数a，使得y2＜0

D.无论实数a取什么值，都有y2＜0

【解析】∵二次函数表达式为y＝x2－2ax＋a(a≠0)，

∴二次函数开口向上，且对称轴为x＝－－2a2＝a，顶点坐标为(a，a－a

当a＞0时，0＜a2＜a，∴a－a2＜y1＜a

当a＜0时，a＜a2＜0，∴a－a2＜y1＜a，A，B错误

当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，

由二次函数对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，

∴y2＞a＞0;

当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，

同理可得y2＞a，但y2不一定大于0，C正确，D错误.

类型二二次函数图象的平移

【例2】[2024·滨州]将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为(1，2).?

变式2[2024·内江]已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1＜y2(填“＞”或“＜”).?

【解析】∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，

∴二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到的抛物线C函数表达式为y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2，

∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝－1.

又∵点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，且－1＜2＜3，

∴y1＜y2.

类型三用待定系数法求二次函数的表达式

【例3】求下列二次函数的表达式:

(1)抛物线的顶点为原点，且过点(2，8).

(2)抛物线的顶点