第19讲 直角三角形和勾股定理-2025年九年级中考数学第一轮专题复习讲义（浙教版专用）.docx

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第四单元三角形

《第19讲直角三角形和勾股定理》

【知识梳理】

1.直角三角形

(1)定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.?

(2)直角三角形的性质:

①直角三角形的两个锐角互余.?

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.?

③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.?

(3)直角三角形的判定:

有两个角互余的三角形是直角三角形.?

2.勾股定理及其逆定理

(1)勾股定理:如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么a2＋b2＝c2.?

(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a，b，c(a≤b＜c)，并且满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.?

(3)勾股数:能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数.

【考题探究】

类型一直角三角形的性质的运用

【例1】如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点.若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为(D)

例1图

A.22 B.3

C.23 D.4

【解析】∵D为斜边AC的中点，F为CE的中点，DF＝2，

∴AE＝2DF＝4.

又∵AE＝AD，∴AD＝4.

在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，

∴BD＝12AC＝AD＝4

变式1－1如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为(C)

变式1－1图

A.33 B.

C.1 D.6

【解析】∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

又∵∠B＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD＝BD＝3.

∵∠C＝60°，∠ADC＝90°，∴∠CAD＝30°，

∴DC＝AD3＝1，∴AC＝2DC＝2

又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF＝12AC＝1

变式1－2[2023·凉山州]如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是1＋3.?

变式1－2图

变式1－2答图

【解析】如答图，取AB中点D，连结OD，DC.

∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，

∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝BC

∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，

∴OD＝12AB＝1，∴OD＋CD＝1＋3

易知OC≤OD＋DC，

∴当点O，D，C共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD，

即OC的最大值为1＋3.

类型二勾股定理及其应用

【例2】[2024·吉林]图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB，AB⊥BC于点C，BC＝0.5尺，BC＝2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为x2＋22＝(x＋0.5)2.?

图1图2

例2图

变式2《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”其意思是:有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈＝10尺)，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺.问折断处与地面的距离为几尺?计算可知折断处与地面的距离为(B)

A.5.45尺 B.4.55尺

C.5.8尺 D.4.2尺

类型三勾股定理的面积关系

【例3】[2025·预测]如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为100.?

例3图

变式3勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把两个较小的正方形按图2的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C)

变式3图

A.直角三角形的面积

B.最大正方形的面积

C.两个较小的正方形重叠部分的面积

D.最大的正方形与直角三角形的面积和

【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长的直角边为b，较短的直角边为a，

则由勾股定理，得c2＝a2＋b2，

∴阴影部分的面积＝c2－b2－a(c－b)＝a2－ac＋ab＝a(a＋b－c).

∵两个较小的正方形重叠部分的宽＝a＋b－c，长＝a，

∴两个较小的正方形重叠部分的面积＝a(a＋b－c)＝阴影部分的面积.故选C.

类型四平面展开最短路径问题

【例4】(1)如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处.现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是(C)

例4(1)图

(2)[2024·绍兴模拟]如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖