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《微积分竞赛辅导》本课程旨在帮助学生系统学习微积分知识，掌握竞赛解题技巧，提升数学能力，为参加微积分竞赛做好充分准备。

课程大纲1.函数及其性质2.导数的概念和性质3.导数的应用4.积分的概念和性质

1.函数及其性质1函数的概念和定义2函数的性质：单调性、奇偶性、周期性3函数的图像和性质之间的关系4函数的复合、反函数、隐函数

极限的定义和性质极限的定义：ε-δ语言和数列的极限极限的性质：极限的唯一性、极限的四则运算、极限的保号性、夹逼定理、单调有界数列必有极限

极限的计算方法利用函数的性质和公式利用等价无穷小和洛必达法则利用夹逼定理和单调有界定理利用函数的连续性和图形法

连续函数的概念和性质连续函数的定义：ε-δ语言连续函数的性质：介值定理、零点定理、最值定理连续函数的分类：一致连续、绝对连续

函数的间断点1第一类间断点：可去间断点、跳跃间断点2第二类间断点：无穷间断点、振荡间断点3间断点类型的判断方法

2.导数的概念和性质导数的概念：瞬时变化率、切线斜率、导数的几何意义导数的定义：差商的极限、导数的物理意义导数的计算方法：求导公式、求导法则

导数的定义求导利用导数的定义计算函数在某一点的导数1极限求导过程本质上是求差商的极限2差商函数在两点间的变化率3函数待求导的目标函数4

导数的基本运算法则加法法则：f(x)+g(x)的导数为f(x)+g(x)减法法则：f(x)-g(x)的导数为f(x)-g(x)乘法法则：f(x)*g(x)的导数为f(x)*g(x)+f(x)*g(x)除法法则：(f(x)/g(x))的导数为(g(x)*f(x)-f(x)*g(x))/(g(x))^2

复合函数的求导1链式法则复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数2复合函数由两个或多个函数组合而成3求导对复合函数进行求导操作

高阶导数1二阶导数函数的一阶导数的导数，描述函数的凹凸性2三阶导数函数的二阶导数的导数，描述函数的拐点3高阶导数函数的n阶导数，用于描述函数的更复杂性质

3.导数的应用极值问题单调性与凹凸性渐近线的确定微分中值定理及其应用其他应用

极值问题求导找到函数的导数为0的点判别利用二阶导数判断极值点的类型求解计算函数在极值点的取值，得到极值

单调性与凹凸性单调性：利用一阶导数判断函数的单调区间凹凸性：利用二阶导数判断函数的凹凸区间

渐近线的确定水平渐近线：当x趋于正负无穷时，函数的值趋于一个常数垂直渐近线：当x趋于某一点时，函数的值趋于正负无穷斜渐近线：当x趋于正负无穷时，函数的值趋于一个斜率不为零的直线

微分中值定理及其应用1罗尔定理：在闭区间上，连续且在开区间内可导的函数，如果在端点取值相等，那么在该区间内至少存在一点，使得导数为零2拉格朗日中值定理：在闭区间上，连续且在开区间内可导的函数，那么在该区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率3柯西中值定理：在闭区间上，两个函数都连续且在开区间内可导，那么在该区间内至少存在一点，使得两个函数在该点的导数之比等于这两个函数在该区间上的平均变化率之比

4.积分的概念和性质积分的概念：原函数、不定积分积分的性质：不定积分的性质、定积分的性质积分的计算方法：积分公式、积分技巧

不定积分的概念和性质不定积分的定义：导数为被积函数的函数不定积分的性质：不定积分的线性性质、不定积分的常数项常见的不定积分

常见积分法换元积分法：利用换元法将复杂积分转化为简单的积分分部积分法：利用分部积分公式将复杂积分转化为简单的积分三角函数积分法：利用三角函数的性质和公式求解积分其他积分技巧：利用积分表、利用图形法

定积分的概念和性质1定积分函数在某个区间上的积分，代表曲线与坐标轴围成的面积2积分区间定积分的计算范围3被积函数定积分的被积函数

微积分基本定理1第一基本定理定积分的值等于被积函数的原函数在积分区间的两个端点的取值之差2第二基本定理导数与积分互为逆运算3微积分基本定理连接微积分和代数的桥梁

5.积分的应用面积和体积的计算流体力学问题物理问题的建模微分方程的应用其他应用

面积和体积的计算面积利用定积分计算曲线与坐标轴围成的面积体积利用定积分计算旋转体积

流体力学问题利用积分计算流体压力、浮力、流量等积分在流体力学中的应用，包括流体力学方程的推导和求解

物理问题的建模将物理问题转化为数学模型，利用积分求解物理量积分在物理学中的应用，包括牛顿定律、能量守恒定律等

微分方程的应用1微分方程：描述函数与其导数之间关系的方程2积分在微分方程的解法中的应用3微分方程在物理、化学、生物等领域的应用

6.微积分思想在其他领域的应用几何问题：利用微积分解决几何问题，如曲线的长度、曲面的面积、曲线的切线等概率统