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“鸡兔同笼”的数学思想方法及其应用

1.鸡兔同笼

“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题，最早出现在《孙子算经》中，也是《人教版义

务教育课程标准实验教科书•数学》六年级上册第七单元“数学广角”中的教学内容.教材虽

然只编排了一道例题，但此例在解决“鸡兔同笼”问题时，先后呈现了多种解题思路.原题

如下：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

1.1孙子的解法

“上置三十五头，下置九十四足.半其足得四十七.以少减多，再命之，上三除下四，上

五除下七.下有一除上三，下有二除上五，即得”.

翻译成算术方法就是：

兔数（94÷2）－35＝12（只）

鸡数35－12＝23（只）.

孙子提出了大胆的设想：他假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了独脚鸡，

而每只兔就变成了双脚兔.这样，独脚鸡和双脚兔的脚，就由94只变成了47只、而每只鸡

的头数与脚数之比变为1：1，每只兔的头数与脚数之比变为1：2.由此可知，有一只双脚兔，

脚的数量就会比头的数量多1.所以，独脚鸡和双脚兔的脚的数量，与他们的头的数量之差，

即兔子只数：47－35=12（只），则鸡的只数：35－12=23（只）.孙子的大胆设想既为分析和

解决问题提供了方便，也巧妙渗透了转化的方法.

1.2假设法

（1）假设笼子里35只都是鸡，那么共有脚2×35=70只脚，这样就多出94-70=24只脚.

（2）一只兔比一只鸡多（4-2）只脚，也就是有24÷2=12只兔.

（3）所以笼子里有35-12=23只鸡，12只兔.

可以列出公式一：

兔数＝（实际脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数－每只鸡脚数）.

反过来，可以假设笼子里都是兔，那么共有4×35=140只脚，这样就少去140-94=46

只脚.一只鸡比一只兔少（4-2）只脚，也就是有46÷2=23只鸡，有35-23=12只兔.说明我们

设想的35只兔中，有23只不是兔，而是鸡.

可以列出公式二：

鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡脚数）.

解决问题的本质就是数学建模.由上述假设法，学生可举一反三，在头脑里建立起解决

“鸡兔同笼”问题的数学模型，即公式一与公式二，非常有效的解决这类问题.

1.3方程法

在小学阶段，通常运用一元一次方程解决问题，顺向思维的方程解法往往更加简便快捷.

“鸡兔同笼”问题列出的关系式是：鸡的脚数+兔的脚数=94.因此，

解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只,根据题意得:

2x+4（35-x）=94

x=23

兔数：35-13=12（只）

答：鸡有23只，兔有12只.

类似的，也可以设兔有x只，则鸡有（35-x）只，列出方程4x+2（35-x）=94即得.

1.4穷举法

波利亚说，“数学事实首先是被猜想，然后是被证实.”人们遇到问题，往往会在已有知

识经验的基础上对问题进行直觉猜想、试探，再进一步验证自己的猜想.如果把各种猜想的

结果有序填写到教材上的表格之中（见表一），即为全部猜想的有序列举，数学上称作“穷

举法”.

表一鸡兔只数与脚数的列举

鸡01234567891011121314

兔353433323130292827262524232221

脚140138136134132130128126124122120118116114112

151617181920212223242526272829303132

20191817161514131211109876543

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