3.2.2 双曲线的几何性质（难点）（解析版）.docx

3.2.2双曲线的几何性质（难点）

一、单选题

1．设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,

A．3+1 B．3 C．2 D．

【答案】A

【分析】在Rt△F1BF2中B为F1F2的中点，即

【解析】由题意可知|OB|=12F

所以BF2=

所以BF

所以e=

故选：A.

2．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为2

A．(1,2) B

C．(1,3) D

【答案】A

【分析】根据题意分析满足PF1-PF

【解析】因为满足PF1-PF2=2b的所有点在以F1,F2为焦点，长轴长为2b，短轴长为2c2-b2=2a的双曲线，即x2b2-y2a2=1

故选：A

3．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，

A．43 B．53 C．32

【答案】B

【分析】根据(F1F2+F1A)?F2

【解析】因为(F

所以F1F

所以AF

由双曲线的定义，知AF

设∠AF1F2

如图，作F1M⊥

则sinθ2=a+c2c，所以

故选：B．

4．已知F1,F2分别为双曲线x29-y2

A．19 B．23 C．25 D．85

【答案】B

【分析】设P(x,y)且x≥3

【解析】令P(x,y)且x

所以|PF1

则|PF1|2

所以|PF

故选：B

5．设F1、F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点，P是C

A．x±2y=0 B．2x±

【答案】B

【分析】由已知及双曲线的性质可得|PF1|=4a,|PF2|=2a，在焦点三角形中应用余弦定理得到参数

【解析】由∠PF1F2

根据双曲线性质知：|PF1

又|PF1|+|PF2

所以4a2=16

所以3a=c，故b

故选：B

6．已知椭圆C1：x2a2+y22=1a2与双曲线C2有公共的焦点F1?F2，A为曲线C1?C2

A．9 B．92 C．7 D．

【答案】B

【分析】先由椭圆定义和余弦定理结合面积公式求出∠F1AF2，再由双曲线定义和椭圆定义找到a，a

【解析】记椭圆中的几何量为a，b，c，双曲线中的几何量为a,b

则由椭圆和双曲线定义可得m+n=2a…①

两式平方相减整理得a2

记∠F1A

①2-③得2mn

由面积公式可得12mnsinθ=2，即mn

因为θ∈(0,π)，所以θ-π

所以a2-a

所以1e12

所以4e

当且仅当e1=

故选：B

7．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左，右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】由PH=λPF1PF1+PF2

【解析】因为PH=λPF1

又因为点H在直线x=a上，且在双曲线中，点P是双曲线

则△PF1F2的内切圆圆心在直线x

如图，作出△PF1F2，并分别延长HP、HF1、HF2

HF1=3HF1

设S△HPF1=m，

即m:

又H为△PF1

因为F1F2=2c，所以P

所以双曲线C的离心率e=

故选：C.

【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：

设△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c

（1）△ABC的重心G满足GA

（2）△ABC的内心P满足a

（3）△ABC的外心M满足MA

8．已知F1,F2分别为双曲线C:x24-y212=1的左?右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线

A．-∞,-4

C．-335

【答案】B

【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有∠EF2M=π

【解析】设AF1,AF2,

则|AH

由AF1-

∴HF1-

设内心M的横坐标为x0，由JM⊥x轴得点J的横坐标也为x

得x0=a，则E为直线JM与x轴的交点，即J与

同理可得△BF1

设直线AB的领斜角为θ，则∠E

|

=(c

当θ=π2

当θ≠π2

因为A，B两点在双曲线的右支上，

∴π3θ2π3

∴-33

∴|ME

综上所述，|ME

故选：B.

二、多选题

9．我们约定双曲线E1:x2a2-y2

A．E1

B．以E1、E2

C．过E1上的任一点P引E1的切线交E2于点A、B

D．斜率为k(k0)的直线与E1、E

【答案】AC

【分析】A：根据双曲线标准方程求出渐近线方程和离心率比较即可；

B：求出E1

C：设出切线的方程，分别与E1、E2方程联立，根据韦达定理求出

D：根据C中方程求出xB+xC、x

【解析】①E1:x2a

E2

则双曲线E2实轴长为2λa

∴渐近线方程为y=±

∵在双曲线里面，离心率e=ca=1+

②S1=πa2，S

③对于C，若P为E1顶点时，切线与x轴垂直，根据双曲线对称性可知，此时切线与E2的交点AB关于x轴对称，即线段AB的中点为

当该切线与x轴不垂直时，设切线方程为y=

联立切线与