专题 1-1 基本不等式及其应用【21类题型全归纳】（原卷版）.docxVIP

热点题型追踪：1-1基本不等式及其应用

近4年考情（2020-2024）

考题统计

考点分析

考点要求

2020年天津卷：第14题，5分

基本不等式及其应用是是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.

(1)了解基本不等式的推导过程

(2)会用基本不等式解决最值问题

(3)理解基本不等式在实际问题中的应用

2021年乙卷：第8题，5分

2022年I卷：第12题，5分

2023年I卷：第22题，12分

题型总览

题型总览

总览

热点题型解读（目录）

模块一

模块一 ：核心题型·举一反三

TOC\o1-3\h\z\u【题型1】基本不等式的直接使用 2

【题型2】常规凑配法求最值 3

【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 5

【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 7

【题型5】二次比一次型 9

【题型6】分离常数型 10

【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题 12

【题型8】利用对勾函数 14

【题型9】判断不等式是否能成立 16

【题型10】换元法（整体思想） 19

【题型11】基本不等式的实际应用问题 22

【题型12】与a+b、平方和、ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化） 26

【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题 29

模块二

模块二 ：学有余力·拓展提升

【题型14】消元法 31

【题型15】因式分解型 33

【题型16】同除型（构造齐次式） 35

【题型17】万能“k”法 37

【题型18】三角换元法（利用三角函数） 38

【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题 40

【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 43

【题型21】多次运用基本不等式 43

模块一

模块一

核心题型·举一反三

【题型1】基本不等式的直接使用

如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；

基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号．

若，，且，则的最小值是________

若，，则的最小值为______．

【巩固练习1】若，，则的最小值为______．

【巩固练习2】已知，，且，则的最小值是________

【题型2】常规凑配法求最值

配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．

2、注意验证取得条件．

常见的配凑法求最值模型

(1)模型一：，当且仅当时等号成立；

(2)模型二：

若，则的最小值为.

已知a2，则2a+8a?2的最小值是（

A．6 B．8 C．10 D．12

【巩固练习1】函数（）的最小值为．

【巩固练习2】已知正数a，b满足，则的最小值为．

【巩固练习3】已知，则的最小值为.

【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法

方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．

主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值

注意：验证取得条件．

（2023·广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________

（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（）

A． B． C． D．3

【巩固练习1】已知且，则的最小值是．

【巩固练习2】若，且，则的最小值为．

【巩固练习3】已知，，且，则的最小值为．

【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换

方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题目的．

已知，，，则的最小值为．

已知实数x，满足，则的最小值为（????）

A．6 B． C． D．8

【巩固练习1】若，，且，则有最小是________

【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（????）

A． B． C．5 D．

【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（????）

A．4 B． C． D．

【题型5】二次比一次型

基本模型：，当且仅当时等号成立

已知x0，则x2?x+4x

A．