专题 2-5 对数与对数函数【12类题型】（解析版）-- 2025年高考数学题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）.docxVIP

热点专题2-5对数与对数函数

近5年考情（2020-2024）

考题统计

考点分析

考点要求

2024年II卷第8题，5分

从近四年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用对数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.

（1）对数的概念及运算性质

（2）对数函数的图象

（3）对数函数的性质

2024年北京卷第7题，4分

2024年天津卷第5题，5分

2023年北京卷第11题，5分

2023年I卷第10题，5分

2022年I卷I卷第7题，5分

2022年浙江卷第7题，5分

模块一

模块一

总览

热点题型解读（目录）

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】指数对数混合运算

【题型2】换底公式的应用

【题型3】对数函数的图象及应用

【题型4】对数函数过定点问题

【题型5】指对幂比较大小

【题型6】解对数方程或不等式

【题型7】对数函数模型的实际应用

【题型8】对数型复合函数的单调问题

【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题

【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题

【题型11】反函数问题

【题型12】对数函数的综合问题

模块二

模块二

核心题型·举一反三

【题型1】指数对数混合运算

1、对数计算公式

（1）同底对数加减运算：；

（2）底数和真数是乘方数时：

（3）对数恒等式：

（4）倒数式：

2、对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

(3)指对互化：(a0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

化简下列各式：

(1)；

(2).

【解析】（1）原式.

（2）原式

.

【巩固练习1】化简的值为（）

A．B．C．D．-1

【答案】A

【解析】

【巩固练习2】求值

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）；；（2）0；；（3）3；；（4）13

【解析】（1）原式=

;

（2）原式==;

（3）原式=;

（4）原式.

【题型2】换底公式的应用

换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．

已知，，则（用，表示）

【答案】

【解答】解：因为，，

所以，，，

所以．

故答案为：．

已知，，则.（用表示）

【答案】

【解析】因为，所以，

又，所以

.

已知，则．

【答案】3

【解析】依题意，，

则．

【巩固练习1】设，，

（1）用含，的式子表示，形式为___________.

（2）用含，的式子表示，形式为___________.

【答案】（1），（2）

【解析】（1）；

（2）

【巩固练习2】设，求的值．

【解答】依题意有，，，

【题型3】对数函数的图象及应用

对数函数的图象（底大图低）

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

定义域

(0，＋∞)

值域

R

过定点

过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0

函数值的变化

当0＜x＜1时，y＜0；

当x＞1时，y＞0

当0＜x＜1时，y＞0；

当x＞1时，y＜0

单调性

是(0，＋∞)上的增函数

是(0，＋∞)上的减函数

方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势.

已知函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）

A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c

C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c

【答案】A

【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A.

函数的图象是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.

【详解】解：，

因为，

所以是偶函数，故排除AD，

当时，令，得或，

当或时，，当时，

已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（）

A．(0，1)B．(0，)C．(0，1]D．[1，+∞)

【答案】D

【解析】的图象是由的图象向左平移个单位所得．

的图象过点，函数为增函