诱导公式在三角代数中的应用.pdfVIP

第3节诱导公式（★★）

内容提要

本节主要归纳诱导公式相关的应用，诱导公式有下面的六组：

①sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα，其中k∈Z

②sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα.

③sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.

④sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.

sin(+α)=cosα,cos(+α)=-sinα.

22

诱导公式主要用于化掉sin(kπkπ

±α)，cos(±α)，tan(-

2222

偶不变，符号看象限”，此口诀有两点需注意：

①奇变偶不变指要化掉的若是的奇数倍，则函数名正弦变余弦，余弦变正弦；偶数倍则不变;

2

②符号看象限，是看原来的三角函数名在对应象限的符号，例如，对cos(+α)化简时，符号看象限，看

的是+α这个第二象限的角（其中α看成锐角）的余弦值的符号，显然为负，所以添负号，得到

2

2

cos(+α)=-sinα.

典型例题

类型I：利用诱导公式化简求值

【例1】sin600°=_

解法1：600°较大，可通过拆90°的整数倍，并用诱导公式化掉，使角变小，便于计算,

sin600°=sin(540°+60°),

其次，“符号看象限”，将60°看成锐角，540°+锐角在第三象限，正弦为负，所以添个负号，

故sin600°=-sin60°=

解法2：也可在600°上先减720°，再用sin(-α)=-sinα求值,

√3

sin600°=sin(600°-720°)=sin(-120°)=-sin120°=

2

答案：

2

【反思】若三角代数式中的角可拆分出90°的整数倍，则可用诱导公式将这部分化掉

【变式1】设cos29°=m，则sin241°tan151°=（

(A)√1+m(B)√1-(C）-√1+m(D）-√1-m

解析：已知的是cos29°，所以把241°和151°用诱导公式向29°转化，241°=270°-29°，151°=180°－29°，

sin241°tan151°=sin(270°-29°)tan(180°-29°)=-cos29°(-tan29°)=sin29°=√1-cos29°=√1-m

答案：B

3π

+x)

【变式2】已知f(x)=，则f(21元

11π4

cos(3π-x)sin(-—x)

2

3π

解析：所给解析式中2π3π

22

3π

sin(2π-x)cos(+x)

2-sinxsinx

由题意，f(x)=11π-cosx(-cosx)-tanx,

cos(3π-x)sin(x)