在直角坐标系下二重积分的计算的公式有省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

x

O

D

y

y

x

y

O

a

b

x

D

在直角坐标系下二重积分计算公式有

d

c

1

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§9.3二重积分换元法

在计算定积分时,换元法是一个强有力方法.在计

不易计算时,

算二重积分时,也惯用此法.尤其是二重积分

上二重积分,以到达简化二重积分计算.

那么这两个二重积分有何关系呢？

把xy平面内区域D上二重积分,变成uv平面内区域

ƒ(x,y)特点,用一个适当变换

我们也可依据积分区域D形状和被积函数

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定理2若ƒ(x,y)在xy平面闭区域D上连续,且变换

(1)与在uv平面闭区域上含有一阶连续

(2)它将xy平面上区域D一对一地变为uv平面上区域；

则在此变换下,二重积分为

偏导数；

满足：

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注2换元法计算二重积分关键是依据被积函数

ƒ(x,y)特点和区域D形状,结构变换式.

注3实质就是变换前后D与伸缩率(或比

例系数).

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解区域D图形如右图

解得变换式

令u=y−x,v=y+x

x

y

O

D

x+y=2

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则xy平面上闭区域D在uv平面上对应区域

如右图：

u

v

O

u=−v

v=2

u=v

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二重积分直接化为二次积分较麻烦.

现采取换元法.令

作出区域D图形如右图

x

y

O

D

x+y=c

x+y=d

y=ax

y=bx

d

c

d

则xy平面上闭区域D在uv平面上对应区域

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O

c

d

a

b

u

v

则xy平面上闭区域D在uv平面上对应区域

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解作出区域D图形如右图

现采取换元法.令

x

y

O

D

−x+y=1

x−y=1

x+y=−1

x+y=1

O

u

v

1

1

–1

–1

D1

则xy平面上闭区域D在uv平面上对应区域

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