中考数学二轮复习题型训练专题05 尺规作图与平面几何结合题型（解析版）.doc

专题05尺规作图与平面几何结合题型

选题介绍

本题型在河南省近五年的中招试卷中考了4次，分别为2021年第23题，2020年第10题，2019年第9题，2018年第9题。该题一般为选择题型，分值3分，但2021年中招试题中，尺规作图融入到几何探究题型中，增加了试题的难度和阅读量。本题属于几何题型，侧重于对题意的阅读理解，难度系数中等，得分率偏高。本题型一般综合考查了几何图形性质和尺规作图的两个知识点，一是角平分线的尺规作图，而是线段垂直平分线的尺规作图。

根据已有的图像与文字提供的信息，按照以下思维过程解体：

①根据作图痕迹理解所考知识点，明确作的是线段垂直平分线还是角平分线；

②熟练掌握应用两种尺规作图的性质定理；

③结合几何图形求解相应的量。

真题展现

2021年河南中招填空题第23题

23．（10分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．

简述理由如下：

由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．

……

任务：

（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是⑤（填序号）．

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL

（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．

（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝+1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．

【解析】（1）由作图得，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，可知Rt△PGO≌Rt△PHO的依据HL；

（2）由作图得，OC＝OC，OE＝OF，再根据对顶角相等、公共角等条件可依次证明△DOE≌△COF、△CPE≌△DPF、△OPE≌△OPF，从而得到∠POE＝∠POF，所以OP是∠AOB的平分线；

（3）连接OP，由已知条件可证明∠OPC＝∠OCP＝75°，从而得OP＝OC，再过点P作OA的垂线构造含有特殊角的直角三角形，利用其三边的特殊关系求出OC的长．

【解答】解：（1）如图1，由作图得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，

∴∠PGO＝∠PHO＝90°，

∵OE﹣OC＝OF﹣OD，

∴CE＝DF，

∵CG＝CE，DH＝DF，

∴CG＝DH，

∴OC+CG＝OD+DH，

∴OG＝OH，

∵OP＝OP，

∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL），

故答案为：⑤．

（2）射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：

如图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，

∴△DOE≌△COF（SAS），

∴∠PEC＝∠PFD，

∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，

∴△CPE≌△DPF（AAS），

∴PE＝PF，

∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，

∴△OPE≌△OPF（SAS），

∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB，

∴射线OP是∠AOB的平分线．

（3）如图3，OC＜OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PME＝90°，

由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，

∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，

∵∠AOB＝60°，

∴∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，

∵∠CPE＝30°，

∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，

∴∠OCP＝∠OPC＝（180°﹣∠POE）＝×（180°﹣30°）＝75°，

∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°，

∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°，

∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°，

∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°，

∴MP＝ME，

设MP＝ME＝m，则OM＝MP?tan60°＝m，

由OE＝+1，得m+m＝+1，解得m＝1，

∴MP＝ME＝1，

∴OP＝2MP＝2，

∴OC＝OP＝2；

如图4，OC＞OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PMC＝90°，

同理可得，∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，