专题 8-1 几何体的内接球与外接球，阿氏球等17类题型汇总（原卷版）- 2025年高考数学二轮题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）.docxVIP

专题8-1几何体的外接球与内接球，阿氏球等17类题型

模块一

模块一

总览

热点题型解读（目录）

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】球的截面问题

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面）

【题型6】球心在高上（圆锥形）

【题型7】圆台，棱台外接球模型

【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径）

【题型9】两个外心+中垂线确定球心

【题型10】外接球之共斜边拼接模型

【题型11】外接球之二面角模型

【题型12】内切球之棱锥，圆锥模型

【题型13】内切球之圆台，棱台模型

【题型14】多球相切问题

【题型15】棱切球问题

【题型16】构造球解决空间中动点构成的直角问题

【题型17】阿氏球问题

模块二

模块二

核心题型·举一反三

【题型1】球的截面问题

球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值

【例1】（2020·全国2卷T11）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（????）

A． B． C．1 D．

【例2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为，球的表面积为.

【例3】（23-24高三下·广东江门·阶段练习）已知正四面体的内切球的表面积为，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为．

【巩固练习1】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则点到平面的距离为．

【巩固练习2】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是．

【巩固练习3】（2024·辽宁丹东·一模）已知球的直径为，，为球面上的两点，点在上，且，平面，若是边长为的等边三角形，则球心到平面的距离为．

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

一、长方体外接球：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

二、补成长方体

（1）若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如下图所示．

（2）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

注：《九章算术》中的三棱锥均可补为长方体

【例1】我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为

A． B． C． D．

【例2】在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为

【例3】如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（????）

??

A． B． C． D．

【例4】在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

【巩固练习1】（24-25高三上·江苏泰州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【巩固练习2】将边长为的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________

【巩固练习3】（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（????）

A． B． C． D．

【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型

汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1图2 图3

第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；

第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：，解出

【例1】已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（????）

A． B．60 C． D．

【例2】设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直