线性代数（第5版)课件：行列式的定义.ppt

机动目录上页下页返回结束**机动目录上页下页返回结束线性代数LinearAlgebra行列式行列式与矩阵概念是人们从求解线性方程组的需要中建立起来的，又远远越出求解线性方程组的范围，成为重要的数学工具．行列式概念的发明者：德国数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和二、三阶行列式排列的逆序数n阶行列式的定义行列式的定义主要内容来源:消元法解线性方程组当时,一二、三阶行列式1.二阶行列式有:不便于记忆条件下线性方程组的公式解记忆：引入新记号定义:符号叫做一个二阶行列式.(结果是一个数)二阶行列式的计算法：(两行两列四元素组成)(两项的代数和)公式解改记为说明:(2)x1、x2分子行列式分别是把系数行列式中x1、x2的系数列换成常数项列(保持原有的上下相对位置)所得行列式.(1)x1,x2分母的行列式由方程中未知数系数按其原有的相对位置排成——“系数行列式”．定义:符号并把此式叫做一个三阶行列式.等式左端是记号右端是行列式的展开式aij:第i行第j列的元素(三行三列九元素组成)(六项的代数和)2.三阶行列式对角线法则它可以由一个很简单的规则来说明——即三阶行列式的对角线法则.可以验证，当D≠0时，三元线性方程组的解可以表示为:其中:D1＝D2＝类似地有D3例1解方程组解：D＝3×(-1)×(-1)=＋1×2×1＋(-1)×2×1－(-1)×(-1)×1－1×2×(-1)－3×2×1＝-2所以:D1=D2=D3==1=-12=-9D＝-2又引入二(三)阶行列式使二(三)元线性方程组的公式解具有同样的规律.人们自然想把这一规律推广，显然,能否推广关键在于怎样恰当地定义——n阶行列式．四阶行列式：42=16个元素组成n阶行列式：n2个元素组成—n阶行列式的形式n阶行列式的实质?思考表示代数和——每项组成?共多少项?各项符号?观察三阶行列式展开式的特点思考上述问题：(1)每项组成:(2)多少项:四阶行列式共4!=24项，对角线仅构成8项，(3)各项符号:取自不同行不同列的三元之积.由排列组合知识，共3!＝6项.有多少不同行、不同列的三元之积?对角线法则四阶以上行列式是否适用？对角线法则对四阶以上行列式不适用．1.排列:自然数1,2,…,n组成的一个有序数组i1i2…in称为一个n级(元)排列.例123，231，312，…自然排列:123…n2.逆序:排列中大数码排在小数码前面,称两者构成一个逆序.排列中的逆序总数称作逆序数,记作：二排列的逆序数51243，41352，…五级排列.不是排列.1242三级排列,共3!＝6种；例2计算下列排列的逆序数2+1+1=4;=5;=0;=(n-1)+(n-2)+…+2+1=解：3.奇（偶）排列：逆序数为奇（偶）数的排列．上例③逆序数为0,是偶排列.n=4k或4k＋1,偶排列;n=4k＋2或4k＋3,奇排列.4.排列的对换:排列经对换后逆序数改变.奇偶性是否改变?④对换(is,it)排列经对换后逆序数改变.奇偶性是否改变?定理1对换改变排列的奇偶性．证:①对换相邻数码：，②一般对换：，对换(i,j)可看成:i经s+1次相邻对换得j再经s次相邻对换得奇偶性共改变2s+1次．逆序数增加或减少1；变定理2全体n(n1)级排列的集合中，奇、偶排列各占一半.证:设n!个排列中奇、偶排列分别有p、q个.将p个奇排列经同一对换(1，2)可得p个偶排列,故p≤q；同理可得q≤p.所以p＝q.推论:奇(偶)排列可经奇(偶)数次对换变成自然排列.利用排列的逆序数可确定行列式中各项的符号.先看三阶行列式中各项符号有何规律.各项正负号与列标排列:正号:123,231,312负号:321,213,132(偶排列)(奇排列)故定义：用符号表示的n阶行列式指的是——n!项的代数和这些项是一切可能的取自表(1)的不同行与不同列的n个元素的乘积