高考数学复习第6章不等式第3讲算术平均数与几何平均数.ppt

第3讲算术平均数与几何平均数

课标要求考情风向标

新课标基本上没有考过基本不等式,

1.探索并了解基本不等式而其他省份屡见不鲜,复习应注意：

的证明过程.(1)平时突出对基本不等式取等号的

2.会用基本不等式解决简条件及运算能力的强化训练；

单的最大(小)值问题(2)训练过程中注意对等价转化、分类

讨论及逻辑推理能力的培养

2.几个常用的重要不等式

(1)a∈R,a2≥0,|a|≥0,当且仅当a＝0时取“＝”.

(2)a,b∈R,则a2＋b2______≥2ab.

1.若a,b∈R,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是

(D)

B

A.有最大值B.有最小值

C.是增函数D.是减函数

答案：A

4.已知x0,y0,且x＋4y＝1,则xy的最大值为_____.

考点1利用基本不等式求最值(或取值范围)

例1：(1)(2018年天津)已知a,b∈R,且a－3b＋6＝0,则

答案：4

(3)(2019年上海)如图6-3-1,已知正方形OABC,其中OA

象交AB于点Q,当|AQ|＋|CP|最小时,则a的值为________.

图6-3-1

考点2利用基本不等式求参数的取值范围

(2)(2017年河南八市模拟)已知关于x的不等式2x＋m＋

8

0对一切x∈(1,＋∞)恒成立,则实数m的取值范围是

x－1

()

A.m－8B.m－10

C.m－8D.m－10

答案：D

答案：36

A.3B.4C.14D.8

(当且仅当a－b＝b－c时取等号),∴n的最大值为4,故选B.

答案：B

考点3利用逆代法求最值

答案：8

(2)(2018年江苏)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,∠ABC＝120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD

＝1,则4a＋c的最小值为________.

答案：9

则实数m的取值范围是()

A.m≥4或m≤－2B.m≥2或m≤－4

C.－2m4D.－4m2

2

∴(x＋2y)min＝8,由题意知m＋2m－80,解得－4m2.

故选D.

答案：D

【规律方法】(1)本题需要将“1”灵活代入所求的代数式中,

这种方法叫做逆代法.

(2)利用基本不等式及变式求函数的最值时,要注意到合理

拆分项或配凑因式,而拆与凑的过程中,①要考虑定理使用的

条件(两数都为正)；②要考虑必须使和或积为定值；③要考虑

等号成立的条件(当且仅当a＝b时取“＝”号),即“一正,二

定,三相等”.

难点突破

⊙利用整体思想求最值

例题：(1)(2018年河南南阳统考改编)若实数x,y满足x2

＋y2＋xy＝1,则x＋y的取值范围是________.

(2)已知x,y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6,则z＝x2＋4y2的

取值范围为________.

∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号).

又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0,即2xy≥－6,

∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(当且仅当x＝－2y时取等号).综

上可知4≤x2＋4y2≤12.

答案：[4,12]

【规律方法】本题主要考查了均值不等式在求最值时的运

用.整体思想是思维点拨这类题目的突破口,即x＋y与x2＋4y2

分别是统一的整体,如何构造出只含x＋y(构造xy亦可)与x2＋

4y2(构造x·2y亦可)形式的不等式是解本题的关键.

【跟踪训练】

(2019年广东珠海模拟)已知x0,y0,x＋3y＋xy＝9,则

x＋3y的最小值为(