专题 8-2 立体几何平行的证明与应用（等积变形，截面，探究性问题等12类题型）（原卷版）- 2025年高考数学二轮题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）.docxVIP

专题8-2立体几何中平行的证明与应用

模块一

模块一

总览

热点题型解读（目录）

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】平行关系的判断

【题型2】构造平行四边形得到平行关系

【题型3】由中位线得出平行关系

【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）

【题型5】由面面平行得出线面平行

【题型6】两个平面交线相关的平行证明

【题型7】证明线线平行

【题型8】通过平行证明四点共面

【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积

【题型10】平行的存在性问题（确定点的位置）

【题型11】平行的存在性问题（确定动点轨迹）

【题型12】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面）

模块二

模块二

核心题型·举一反三

平行关系思维导图

序号

图形展示

符号语言

文字语言

1

垂直于同一平面的两个直线平行

如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行

线段成比例两直线平行（中位线）

平行四边形对面平行

2

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

3

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

4

一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行

5

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

6

一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行

7

两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行

【题型1】平行关系的判断

常用结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B．

(4)若α∥β，m?α，则m∥β.

【例1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．

若

则下列说法正确的是（）

A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交

【例2】已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（????）

A．若，，则；

B．若，，则；

C．若、是异面直线，，，，，则；

D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则．

【例3】（多选）已知平面，且，则下列结论正确的是（）

A．与可能是异面直线 B．若，则

C．若，则 D．若两两垂直，则l，m，n也两两垂直

【巩固练习1】下列关于平面平行的命题，正确的是（????）

A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行

D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行

【巩固练习2】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【巩固练习3】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（????）

A．

B．；

C．

D．.

【题型2】构造平行四边形得到平行关系

【方法技巧】构造平行四边形找线线平行

【例1】如图，在棱长为1的正方体中，E、F及G分别为棱、和的中点.求证：平面DEG；

??

【例2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，.

若为的中点，证明：平面；

【巩固练习1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，．证明：平面PAD；

【巩固练习2】（24-25高三上·青海西宁·期中）如图，平面，，，，，点分别为的中点．求证：平面

【巩固练习3】如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．求证：：平面；

【题型3】由中位线得出平行关系

涉及中点条件时考虑利用三角形中位线找线线平行.

【例1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且，求证:平面MCD

【巩固练习1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且.

求证：平面

【巩固练习2】（2024·浙江金华·一模）如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.

??

求证：平面；

【巩固练习3】已知在正四棱柱中，，，点是的中点，求证：平面

【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）

解析：模型铺垫：AB∥平面β?AB∥DE

【例1】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形．点为的中点，点为AB的中点．

????

证明：平面

【例2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与