高考数学复习第9章概率与统计第10讲离散型随机变量的均值与方差.ppt

第10讲离散型随机变量的均值与方差

课标要求考情风向标

通过实例,理解取有限值的离高考中常将相互独立事件、互

散型随机变量均值、方差的概斥事件、随机变量的分布列、

念,能计算简单离散型随机变期望与方差等知识放在一起在

量的均值、方差,并能解决一解答题中考查,主要考查运用

些实际问题概率知识解决实际问题的能力

1.离散型随机变量的均值和方差

一般地,若离散型随机变量X的分布列为：

Xx1x2…xi…xn

Pp1p2…pi…pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的

均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2.均值和方差的性质

设a,b是常数,随机变量X,Y满足Y＝aX＋b,

则E(Y)＝E(aX＋b)＝___a_E_(_X_)_＋__b__,

D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X).

3.两点分布及二项分布的均值和方差

(1)若X服从两点分布,则E(X)＝______p__,D(X)＝p(1－p).

(2)若X～B(n,p),则E(X)＝________n_p_,D(X)＝np(1－p).

1.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回

地任取3件.若ξ表示取到次品的个数,则D(ξ)＝(C)

2.已知随机变量ξ的分布列是：

ξ123

P0.40.20.4

则D(ξ)＝(B)

A.0.6B.0.8

C.1D.1.2

解析：E(ξ)＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2,则D(ξ)＝(1－

2)2×0.4＋(2－2)2×0.2＋(3－2)2×0.4＝0.8.

4.(2017年新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批

产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的

二等品件数,则D(X)＝___1_._9_6_.

解析：由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即

X～B(100,0.02),

由二项分布的期望方差公式,可得D(X)＝np(1－p)＝

100×0.02×0.98＝1.96.

考点1超几何分布的期望和方差

例1：(2018年天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员

工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,

进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从

这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变

量X的分布列与数学期望；

②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也

有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.

解：(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶

2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、

乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.

(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

【跟踪训练】

1.(2017年北京)为了研究一种新药的疗效,选100名患者

随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段

时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成图

9-10-1,其中“*”表示服药者,“＋”表示未服药者.

图9-10-1

(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值

小于60的概率；

(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出

的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望

E(ξ)；

(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服

药者指标