（重庆专用）中考数学二轮复习重难点培优训练专题16 几何证明（压轴题）（解析版）.doc

——几何证明（压轴题）（重庆专用）

1．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，E为AC上一点．

(1)如图1，过D作DF∥AB交AC于点F，若DE=DF=3，AB=4，求CD的长；

(2)如图2，若CE=CD，过A作AF⊥AD交DE的延长线于点F，H为DA延长线上一点，连接HE，过F作FG⊥HE交DH于点G，交HE于点M，且AH=AG，猜想线段HG与ED之间的数量关系并证明你的猜想；

(3)如图3，将（2）中△ADF沿DF翻折得到△A1DF，N为DF上一点，连接AN，过N作PN⊥AN交A1D于点P，AD=10，PD=6，再将△ANF沿AN翻折得到△ANQ，AQ交PN、DF分别于点S

【答案】(1)6

(2)HG

(3)69

【分析】（1）过点D作DG⊥AC于点G，根据角平分线的性质得出DB=DG，证明△CDF∽△CBA，得出DFAB=CDCB=34

（2）连接HF，过点E作EK⊥AD于点K，证明△AFD是等腰直角三角形，△KED是等腰直角三角形，证明△AFH≌△AFG，设∠

（3）过点N作NM⊥AF于点M，NK⊥FD交DA1的延长线于点K，过点A作AT⊥DF于点T，由（2）可知△ADF是等腰直角三角形，则四边形ADA1F是正方形，得出△DNK是等腰直角三角形，证明△ADN≌△PKNSAS，求得MN=22FN=2，在

【详解】（1）解：如图，过点D作DG⊥AC于点G，

∵AD平分∠BAC，∠

∴DB=

∵DF∥

∴△CDF

又DE=DF=3

∴DFAB=CD

设CD=3x，则

在Rt△CDG中，

∵∠DGC

∴△CDG

∴DGAB

∴x4

解得：x=22

∴CD=3

（2）HG=2

证明：如图，连接HF，过点E作EK⊥AD于点

设∠BAD

∴∠C

∵CD=

∴∠CDE

∴∠ADF

∵AF⊥

∴△AFD是等腰直角三角形，

∴∠AFD

∴△KED是等腰直角三角形，

∵FA⊥

∴∠

又AF=AF，

∴△AFH

∴∠

设∠HFA

∵FG⊥

∴∠

∴∠HFD

∴HF=

在△AGF与△

∠

∴△

∴HF

∵AH=AG=

又∵KE=

∴HG=2

∴HG

（3）解：如图所示，

过点N作NM⊥AF于点M，NK⊥FD交DA1的延长线于点K，过点

由（2）可知△ADF是等腰直角三角形，

依题意，则四边形ADA

∴AF=AD=10

∴∠NDK

∴△DNK是等腰直角三角形，

∴ND

∵AN⊥NP，

∴∠

∴∠

即∠

∴△

∴PK=AD=10

则DN=

∴FN=

∵四边形ADA

∴∠AFD

∵MN⊥

∴MN=

∴AM=

在Rt△AMN中，

∵折叠，

∴∠

设∠

∴tan

在Rt△

NS

∴NS

∴AS=A

∴QS=

∵AT⊥

∴AT=

设RN=a

在Rt△ART中，

即32

∵折叠，

∴∠NQR

又∵∠

∴△

∴AR

∴AR=AD

联立①②得3

解得：a=34223

∴RN

∴QSNR

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，构造全等三角形是解题的关键．

2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）在等边三角形ABC中，点D为AC上一点，连接BD，将BD绕D逆时针旋转角度α得到DE，连接BE，已知AB=4，BG⊥AC；

(1)如图1，若α=60°，tan∠DBG=2?3，连接CE，求

(2)如图2，若α=120°，分别取CD的中点H，BE的中点F，连接HF，DF，求证：HG=HF；

(3)如图3，若AD=32，P为AE上一点，且满足AP=2PE，连接BP，将BP沿着BG所在直线翻折得到BP，连接GP

【答案】(1)8?43

(2)见解析；

(3)23

【分析】（1）解：由旋转性质及等边三角形性质可知，可证△ABD≌△CBE（SAS），得CE=AD，由BG⊥AC，可得AG=1

（2）延长DF，使DF=FM，连接BM，CM，则DM=2DF，根据题意可知，HF为△DCM的中位线，即HF=12CM，类比（1）可证得△ABD≌△CBM（SAS），可得AD=

（3）由（1）知，AG=2，BG=23，DB=DE，由AD=32，则DG=12，可得BD=DE=72，由AP=2PE，得APAE=23，作PO∥ED，可得△APO∽△AED，利用相似三角形得性质可列比例式，求得PO=7

【详解】（1）解：由旋转性质可知，DB=DE，

∵旋转角α=60°

∴△BDE是等边三角形，则∠DBE=60°

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠ABC

∴∠ABC?∠CBD

∴△ABD

∴CE=

∵BG⊥AC，AB=

∴AG=12

又∵tan∠DBG

∴DG=4

∴CE=

（2