【数学】复数的乘、除运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptxVIP

第七章7.2.2复数的乘、除运算

1.掌握复数代数形式的乘、除运算，并理解复数乘法的运算律.(重点)2.会在复数范围内解方程.3.了解in的周期性.学习目标

两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？导语

一、复数乘法的运算法则和运算律二、复数代数形式的除法运算课时对点练三、在复数范围内解方程随堂演练内容索引四、in的周期性及其应用

一复数乘法的运算法则和运算律

类比多项式的乘法，我们该如何定义两个复数的乘法呢？问题1提示复数的乘法法则如下：设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

类比实数乘法的运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想.问题2

提示猜想：对于任意z1，z2，z3∈C，有：(1)交换律：z1z2=z2z1；(2)结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)；(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i.(1)∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i，且a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1，∴z1z2=z2z1.

(2)∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可得：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).

(3)∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i，z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i，∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

1.复数的乘法法则设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=.(ac-bd)+(ad+bc)i

2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2=_______结合律(z1z2)z3=__________乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=___________z2z1z1(z2z3)z1z2+z1z3

计算下列各题.(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2；例1(1-i)(1+i)+(2+i)2=1-i2+4+4i+i2=5+4i.

(2)(2-i)(2+11i)(3-4i).(2-i)(2+11i)(3-4i)=(4+22i-2i-11i2)(3-4i)=(15+20i)(3-4i)=5(3+4i)(3-4i)=5×(9+16)=125.

(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤①首先按多项式的乘法展开；②再将i2换成-1；③然后再进行复数的加、减运算.(2)常用公式①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a，b∈R)；②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R)；③(1±i)2=±2i.反思感悟

(1)计算：(1-i)2-(2-3i)(2+3i)等于A.2i-13 B.13+2iC.13-2i D.-13-2i跟踪