重难点01 规律探索问题（4种类型16种题型 专项训练）-2025年中考数学二轮复习讲练（全国通用）（原卷版）.docx

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重难点01规律探索问题

（4种类型16种题型+专项训练）

?题型01数式规律

1）周期规律

1．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，?，a

A．?12 B．13 C．

2．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定f(x)=2xx+1，例如：f(2)=2×22+1=43，f12

A．199 B．200 C．201 D．202

3．（2022·内蒙古·中考真题）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，

A．0 B．1 C．7 D．8

2）等式规律

4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）观察下列等式：1=12?02，3=22?1

5．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：

第1个：1×2?2=22×0

第3个：9×4?4=42×2

按照以上规律，第n个等式为．

6．（2021·湖南怀化·中考真题）观察等式：2+22=23?2，2+22+23=24?2，2+

3）新定义类规律

7．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m?n1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16=52?32，16就是一个智慧优数，可以利用m2

8．（2024·山东济南·模拟预测）若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的数，n=1，2，…，k且yn=0，xn?1=xn+1

A．0，1，0，1． B．1，0，1，0． C．1，0，0，1． D．0，1，1，0．

9．（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：5#3=2×5?3；3#?1=2×3+1；

(1)这种新运算是：x#y=_______（用含x，y的代数式表示）；

(2)若m#?33#m，求

(3)若a，b均为整数，试判断a#b?b#a#3a

4）计数类规律

10．（2020·四川·中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝．

11．（2023·湖北随州·中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．

?题型02数阵与数表规律

1）三角阵

12．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b)7展开的多项式中各项系数之和为

13．（2023·四川·中考真题）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为．

??

14．（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了a+bn（n

a+b

a+b

a+b

a+b

a+b

a+b

……

1

1????1

1???2????1

1????3????3????1

1????4????6????4????1

1????5????10???10???5????1

……

则a+b2024展开式中所有项的系数和是

15．（2022·重庆巴南·模拟预测）“杨辉三角”给出了(a+b)n展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幕排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：(a+b)2=a2

①“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10