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重难点专题01妙用奔驰定理解决三角形面积比问题
【题型归纳目录】
题型一：直接使用奔驰定理
题型二：三角形面积比问题
【方法技巧与总结】
奔驰定理解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故.
【典型例题】
题型一：直接使用奔驰定理
【典例1-1】已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（????）
A． B． C． D．
【典例1-2】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（????）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（????）
A． B． C． D．
【变式1-2】在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（????）
A． B． C． D．
题型二：三角形面积比问题
【典例2-1】已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（????）
A． B． C． D．
【典例2-2】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（????）
A． B．3 C． D．
【变式2-1】已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（????）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知P是内部一点，且，则面积之比为（????）
A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1
【强化训练】
1．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（????）
A． B． C． D．
2．设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（????）
A． B． C． D．
3．设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（????）
A． B． C． D．
4．点P是内一点且满足，则的面积比为（????）
A． B． C． D．
5．已知所在的平面内一点（点与点，，不重合），且，则与的面积之比为（????）
A． B． C． D．
6．已知为内一点，且有，则和的面积之比为
A． B． C． D．
7．已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（????）
A． B． C． D．
8．已知O为所在平面内的一点，且满足，则的面积与的面积的比值为（????）
A． B． C． D．
9．已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（????）
A． B． C． D．
10．（多选题）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（????）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
11．（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（????）
??
A．若，则
B．若，则为的重心
C．若为的内心，则
D．若为的外心，则
12．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（????）
A．若，则
B．，，，则
C．若为的内心，，则
D．若为的重心，则
13．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（????）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为△ABC的内心，，则
D．若O为△ABC的垂心，，则
14．（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形
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