7函数逼近与曲线拟合省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

第七章函数迫近与曲线拟合11函数迫近也是用较简单函数y(x)近似代替函数f(x)。但迫近与插值不一样之处于于，插值函数y(x)与被插值函数f(x)在节点处含有相同函数值，甚至还含有相同导数值。但在非节点处，其误差可能很大，如Runge振荡现象。而用函数y(x)时，允许它们在节点处含有一定误差，即不准确成立，但在迫近函数f(x)，或用函数y(x)拟合数据整体上其误差能到达最小。第1页

22§1迫近概念定义7.1设函数满足则称为区间[a,b]上权函数。定义7.2设，为[a,b]上权函数，称为函数f(x),g(x)在[a,b]上带权函数内积。第2页

33定义7.3f(x)在C[a,b]上范数定义为定义7.4若(f,g)=0，则称f(x),g(x)在[a,b]上带权正交，记为性质(1)Cauchy-Schwartz不等式(2)若f与g正交，则第3页

44定义7.5若函数系满足则称是区间[a,b]上带权正交函数系。如是上带权正交函数系。定义7.6设是线性赋范空间，是一个子集，若对中给定函数f，在中存在一函数，使则称是中对f最正确迫近函数。第4页

55若，则称是中对f最正确一致迫近函数。若，则称是中对f最正确平方迫近函数。定理7.1函数系在区间[a,b]上线性无关充分必要条件是Gram行列式，其中第5页

66§2最正确平方迫近一、函数最正确平方迫近为了计算方便，将定义7.6中最正确平方迫近改为，设若存在使则称是在中最正确平方迫近函数。定理7.3在中最正确平方迫近函数存在且唯一第6页

77证令，定义m+1元函数由多元函数极值必要条件知，在最小值点处有即故有由此有方程组(7.3)，称之为法方程(正则方程，正规方程）第7页

88因为线性无关，故方程组(7.3)系数行列式不等于0。由Cramer法则，方程组(7.3)存在唯一一组解故有由方程组(7.2)有第8页

99故余项二、最正确平方迫近多项式取则迫近函数为多项式第9页

1010其中此时，法方程系数矩阵为Hilbert矩阵例7.1设，求f(x)在[0,1]上最正确二次平方迫近多项式。第10页

1111解法方程为解之,有最正确二次平方迫近多项式为余项第11页

1212例7.2在[-1,1]上,分别求函数在和中最正确平方迫近函数。解(1)令则有第12页

1313法方程为解之有最正确平方迫近函数为误差为(2)令则有第13页

1414则有法方程组为第14页

1515解之有最正确平方迫近为误差为三、以正交函数系作最正确平方迫近求最正确平方迫近函数即求解法方程组（7.3），但当需增加一项时，法方程组系数矩阵将增加一行、一列，右端向量也将增加一项，成为第15页

1616法方程(7.5)解中前m+1个值与方程(7.3)中解普通来说是不相同。从(7.4)知，当进行[0,1]上最正确平方多项式迫近时，法方程系数矩阵是Hilbert矩阵。因为Hilbert矩阵是病态矩阵，所以求解法方程将会产生很大误差，为了克服以上两个缺点，我们进行正交函数系迫近。第16页

1717当是[a,b]上正交函数系时，因为故法方程(7.3)系数矩阵是对角型矩阵方程组解为最正确平方迫近函数为当需要增加一项时，法方程只在原方程组基础上增加一个方程第17页

1818最正确平方迫近函数也只须增加一项即可。此时最正确平方迫近函数为所以进行正交函数迫近时，既能克服法方程病态性质，又能在增加迫近函数项时，充分利用原有数据结果，工程应用是非常方便。第18页

1919§3正交多项式及性质一、正交多项式定义7.7若