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4.2.3等差数列的前n项和
一、单选题
1.等差数列的公差为d,前n项和为,若,,则(???????)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【分析】利用等差数列通项公式及求和公式基本量计算得到方程组,求出公差.
【解析】由得:,又,即,解得:.
故选:A
2.记为等差数列的前n项和.若,,则()
A.10 B.-10 C.12 D.-12
【答案】A
【分析】设出公差,根据条件列出方程,可求公差,根据通项公式可得结果.
【解析】设等差数列的公差为d,
由,,得,
解得,则.
故选:A.
3.设等差数列的前n项和为,若,,则当取得最小值时,(????)
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为,根据题意求得,得到,结合二次函数的性质,即可求解.
【解析】设等差数列的公差为,
因为,,可得,解得,
所以,
所以当时,取得最小值.
故选:A.
4.已知等差数列,,,则数列的前100项和(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先求出的通项,再利用裂项相消法可求前100项和.
【解析】因为为等差数列且,,
故,故,
故数列的前100项和为,
故选:A.
5.已知数列的各项均为正数,且,则数列的前n项和(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件,结合数列前n项和的意义求出,进而得,再利用等差数列前n项和公式计算作答.
【解析】因,当时,,
则,而满足上式,因此,,即,
则,,即是首项为4、公差为4的等差数列,
所以.
故选:B
6.数列的前项和(,为常数,)是数列成等差数列的(????)
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】由数列之间的关系求通项公式可求出,再用定义法判断数列为等差数列,再由等差数列的前项和公式求和,则充要性即可判断.
【解析】解:当数列的前项和时,
,,
又时,,满足上式,
即,,
又,
即数列成等差数列,
当数列成等差数列,不妨设首项为,公差为,则,
即数列的前项和(,为常数,)是数列成等差数列的充要条件,
故选C.
【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及利用数列之间的关系求通项公式,属中档题.
7.已知数列,,则数列的前100项和为(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由题意结合三角函数的性质可得、,再由并项求和、等差数列的前n项和公式即可得解.
【解析】由题意知,当时,;
当时,,
所以数列的前100项和
.
故选:B.
【点睛】本题考查了三角函数的性质及等差数列前n项和公式的应用,考查了并项求和法的应用及运算求解能力,属于中档题.
8.在等差数列中,为其前n项和.若,,则下列判断错误的是(????)
A.数列递增 B. C.数列前2020项和最小 D.
【答案】C
【分析】利用等差数列的前n项和公式,等差数列下角标性
和公差判断数列单调性即可求解.
【解析】因为,,即,
,
所以,.
因为,,
所以,,所以公差,
所以数列是递增数列,其前1010项和最小,所以C错误.
故选:C.
9.已知数列满足,在,之间插入n个1,构成数列:,1,,1,1,,1,1,1,,…,则数列的前100项的和为(????)
A.211 B.232 C.247 D.256
【答案】D
【解析】依题意,到为止,新的数列共有项,计算出截止到共有91项,将前100项分为3部分,一部分,之前的1一部分,之后的1一部分,求和即可.
【解析】依题意,到为止,新的数列共有项,
由于,即截止到共有91项,
故数列的前100项的和为,
故选:D.
【点睛】关键点点睛:理解的意义,将数列的前100项分为三部分是解题的关键.
10.已知等差数列的前项和为,则数列的前10项和为(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为,根据,列出方程求得,得到,进而得到,利用“裂项法”,即可求解.
【解析】设等差数列的公差为,
因为,可得,解得,
所以,
可得,
所以.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式的应用,以及数列的“裂项法”求和的应用,其中解答中熟记等差数列的通项和求和公式,合理利用“裂项法”求和是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
11.已知数列,,其中为最接近的整数,若的前m项和为10,则(????)
A.15 B.20 C.30 D.40
【答案】C
【分析】由题意,为最接近的整数,得到中有2个1,4个2,6个3,8个4,,进而得到,结合等差数列的求和公式,即可求解.
【解析】由题意知,函数为最接近的整数,且,,,,
由此,在最接近的整数中,有2个1,4个2,6个3,8个4,,
又满足,得:,
则,
因为的前项和
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