高考数学复习第5章数列第4讲数列的求和.ppt

第4讲数列的求和

课标要求考情风向标

从近两年的高考试题来看,对等差、等比数

探索并掌握等差列的求和,以考查公式为主；对非等差、非

数列、等比数列的等比数列的求和,主要考查分组求和、裂项

前n项和的公式相消法、错位相减法等.题型既有选择题、填

空题,又有解答题,属较难题目

数列求和

公式法分组求和法裂项相消法错位相减法

等差数列等比数列有时把一个

数列的通项适用于一个

把一个数列公式分成两等差数列和

Sn

分成几个可项差的形式,一个等比数

na,q1

1以直接求和相加过程消列对应项相

a1qnaaq

11n,q1的数列去中间项,只乘构成的数



1q1q剩下有限项列求和

再求和

D

A

3.数列1,(1＋2),(1＋2＋22),…,(1＋2＋22＋…＋2n－1),…

的前n项之和为(D)

A.2n－1B.n·2n－n

C.2n＋1－nD.2n＋1－n－2

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考点1公式或分组法求和

例1：(2018年天津)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn

*

(n∈N)；{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn

*

(n∈N).已知b1＝1,b3＝b2＋2,b4＝a3＋a5,b5＝a4＋2a6.

(1)求Sn和Tn；

(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn,求正整数n的值.

【规律方法】若一个数列是由等比数列和等差数列组成,

则求和时,可采用分组求和,即先分别求和,再将各部分合并.

【跟踪训练】

1.(2016年北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2

＝3,b3＝9,a1＝b1,a14＝b4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn,求数列{cn}的前n项和.

考点2裂项相消法求和

【跟踪训练】

2

得[Sn－(n＋n)](Sn＋1)＝0.

2

由于{an}是正项数列,∴Sn0,Sn＝n＋n.

于是a1＝S1＝2,

22

当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝n＋n－(n－1)－(n－1)＝2n.

当n＝1时,a1＝2＝2×1符合上式.

综上,数列{an}的通项公式为an＝2n.

【规律方法】常见的裂项公式：

【跟踪训练】

答案：99

考点3错位相减法求和

【规律方法】(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}

是等比数列,求数列{anbn}的前n项和时,可采用错位相减法,一般

是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对

齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.

【跟踪训练】

思想与方法

⊙放缩法在数列中的应用

(1)解：由题设,知3Sn＝an＋1－2.

当n≥2时,3Sn－1＝an－2,

两式相减,得3an＝an＋1－an,即an＋1＝4an.

又a1＝2,3a1＝a2－2,可得a2＝8,

∴a2＝4a1.

∴数列{an}构成首项为2,公比为4的等比数列.

n－12n－1

∴an＝2×4＝2.

【跟踪训练】