专题 8-3 立体几何中垂直的证明与探究（原卷版）- 2025年高考数学二轮题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）.docxVIP

专题8-3立体几何中垂直的证明与探究

模块一

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总览

热点题型解读（目录）

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】垂直性质的判定

【题型2】线面垂直证明

【题型3】证明面面垂直

【题型4】已知面面垂直证其他垂直

【题型5】证明异面直线垂直

【题型6】线面垂直的存在性问题探究

【题型7】面面垂直的存在性问题探究

【题型8】异面直线垂直的存在性问题探究

【题型9】存在性问题中确定动点的轨迹与最值

模块二

模块二

核心题型·举一反三

【题型1】垂直性质的判定

部分问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除

【例1】（2024·四川成都·三模）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（????）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，，则

【例2】（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（????）

A． B．

C． D．

【例3】（2024·广东佛山·一模）（多选）已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（????）

A．， B．，

C．，， D．，，

【例4】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：

①若，，则.②若，，则.

③若，，则.④若，，则.

其中正确命题的序号是（????）

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③

【例5】设、是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（????）

A．若，，，则

B．若，，则

C．若、是异面直线，，，，，则.

D．若，，则

【例6】（2024·贵州遵义·二模）已知平面满足，下列结论正确的是（????）

A．若直线，则或

B．若直线，则与和相交

C．若，则，且

D．若直线过空间某个定点，则与成等角的直线有且仅有4条

【巩固练习1】（2024·广东惠州·一模）已知l、n是两条不同的直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（????）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【巩固练习2】（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）设a，b表示两条互不重合的直线，，表示两个互不重合的平面，则下列命题正确的是（????）．

A．，，，则 B．，，，则

C．，，，则 D．，，，则

【巩固练习3】设是两条不同的直线，是两个不同的平面．则下列说法错误的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【巩固练习4】（2024·湖南·三模）已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【巩固练习5】设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面给出下列四个命题：

①若，，α//β，则；

②若，，，则；

③若，，α//β，则；

④若，，，，则．

其中正确命题的个数是（?????）

A． B． C． D．

【题型2】线面垂直证明

解决思路：通过线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直时，关键是在平面内找到两条与直线垂直的相交直线，并证明.

步骤

第一步：证明直线与平面内两条相交直线都垂直.

第二步：通过线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.

第三步：通过线面垂直的性质证明直线与平面内的直线垂直.

【例1】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

【例2】如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC．

求证：平面；

【例3】（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于．

证明：平面；

【巩固练习1】（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

??

(1)求证：平面PAB；

(2)求二面角的大小．

【巩固练习2】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在三棱锥中，为上的动点.

若，求证：平面；

【巩固练习3】

【题型3】证明面面垂直

面面垂直的主要证明方法是利用线面垂直?面面垂直．

证明时，先从现有的直线中寻找其中一个平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．

文字语言

图形语言

符号语言

面面垂直判定

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

_

_

【例1】（2020·全国·高考真题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

【例2】（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面

??

【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，证明：