高一数学余弦定理.docVIP

5.6(2)余弦定理

上海市杨浦高级中学杨玉珠

教学内容分析

本节课是高中数学第五章三角比中第三单元的第二节课学生已在初中学习了如何借助锐角的三角比来解决直角三角形的问题，通过本节课及上节课正弦定理的学习，能够解决人类认识自然时遇到的天文观测、航海和地理测量等等更为一般的解三角形的问题.

本小节的重难点是余弦定理的推导及应用.从学生已有锐角三角比的定义入手，利用勾股定理及方程的思想得出三角形的边角满足的另一个数量关系式余弦定理并加以灵活运用．

教学目标设计

体验由已有知识推导计算的方法得到余弦定理的过程；深刻理解任意三角形的边角数量关系并会运用余弦定理解三角形；通过对余弦定理的探索和证明，感受事物间是相互联系、相互依存的辨证关系.

三、教学重点及难点

教学重点及难点

余弦定理的推导及其应用.

四、教学流程设计

复习引入

复习引入

探究得出定理

运用与深化(例题解析、稳固练习)

课堂小结并布置作业

五、教学过程设计

一、复习引入

我们已经学习了正弦定理，知道了三角形的三边与三角形三个内角的正弦之间存在==的关系，利用正弦定理可以解决下面两类解三角形问题：

〔1〕三角形中两角及一边，求另两边和一角；

〔2〕三角形中两边和其中一边所对的角，求其他的边和角.

但在解三角形时，还回遇到下面的问题：

〔１〕两边和它们的夹角，求其他的边和角；

〔２〕三边，求三个内角.

对于这样的问题，用正弦定理解决就显得比拟困难，所以这节课我们继续探究任意三角形的边和角间的关系----余弦定理〔板书课题〕

二、讲授新课

1、探究

先考虑三角形的两边和他们的夹角，如何计算第三边的问题，联系已经学过的知识，从什么途径来解决这个问题呢？由于涉及边长问题，可以考虑用勾股定理或两点距离公式来探究这个问题.

在中，=c,=b和,求

如图：=

=

=

同理：

钝角三角形亦可证得上述结论.

[说明]：两点距离公式需建立直角坐标系，建议共同讨论分析后作为课后作业.

2、形成定理：

上面几个式子可以得出：在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，这样的结论叫做余弦定理.

利用余弦定理，就可以由的两边及其夹角计算出第三边来.

在中，如果，那么

.

可见勾股定理是余弦定理在直角三角形中的特例，而余弦定理那么是勾股定理在任意三角形中的推广.

有余弦定理，可以得到它的推论：

利用余弦定理的推论，就可以有三角形的三边求三个内角.

3．例题分析

例1中，，解三角形〔边长精确到，角度精确到〕.

[说明]这是一个两边和它们的夹角的解三角形问题，可以利用余弦定理来解决.

解：由余弦定理，得由此得.又有余弦定理，可得

所以，

所以，

例2：在中，解三角形

〔角度精确到〕

[说明]这是一个三边的解三角形问题，可以利用余弦定理来解决.

解：由余弦定理，得

所以，

又由余弦定理，可得

所以，

所以，

[说明]此题在求得后，也可利用正弦定理转而求出，由此得或又由于，因而.所以，的结果不可能成立，应舍去.在这里，使用余弦定理求比使用正弦定理更直接.

三、稳固练习

1、在中，求.

〔答案：〕

2、在中，解三角形〔边长精确到，角度精确到〕

〔答案：〕

四、课堂小结

在解三角形时，利用余弦定理可以解决下面两类问题：

两边和它们的夹角，求其他的边和角；

三边，求三个内角.

五、作业布置

1、在中，以下条件，解三角形〔边长精确到角度精确到〕：

〔1〕

〔答案：〕

〔2〕

〔答案：〕

2、在中，试用余弦定理证明：为正三角形.

〔提示：利用余弦定理，可将表示成仅用三边表示的形式，经过整理可得〕

的三边分别为、、，如下图建立平面直角坐标系.

〔1〕写出顶点的坐标〔用、表示〕和顶点的坐标〔用表示〕；

〔2〕利用证明：.

[答案：①，；②略]

六、教学设计说明

1、本教学设计中的例1解决的是两边一夹角的解三角形问题，例2解决的是三边的解三角形问题.这两类问题，正是余弦定理所能解决的解三角形问题.

事实上，余弦定理及其推论，将平面几何中判定三角形全等的边角边定理和边边边定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式.

2、余弦定理的证明方法很多.本教学设计勾股定理与两点距离公式，今后可以用向量法再加以证明，更能表达现代数学思想对中学数学的渗透.鉴于课堂上的时间有限，把用两点距离公式证明的方法，安排为回家作业，以供学生课后思考.

这几种方法，各有各的妙处，值得细细品味.教师在授课时，可结合学生的实际情况，自主决定证明方法的取舍.