有限元与有限差分法基础.ppt

”由弹性力学平面问题的特点可知，单元每个节点有两个位移分1量，即每个单元有6个自由度，相应有6个节点载荷，写成矩阵形式，2即3单元节点载荷矩阵：4{F}(e)={Fxi,Fyi,Fxj,Fyj,Fxm,Fym}T5单元节点位移矩阵：6{q}(e)={ui,vi,uj,vj,um,vm}T7图2三节点三角形单元8(1)设定位移函数按照有限元法的基本思想：首先需设定一种函数来近似表达单元内部的实际位移分布，称为位移函数，或位移模式。三节点三角形单元有6个自由度，可以确定6个待定系数，故三角形单元的位移函数为（1-4）式(1-4)为线性多项式，称为线性位移函数，相应的单元称为线性单元。u=u(x,y)=α1+α2x+α3yv=v(x,y)=α4+α5x+α6y01上式(5-5)也可用矩阵形式表示，即02式中，{d}为单元内任意点的位移列阵。03（1-5）由于节点i、j、m在单元上，它们的位移自然也就满足位移函数式(1-4)。设三个节点的位移值分别为(ui,vi)、(uj,vj)、(um,vm)，将节点位移和节点坐标代入式(1-4)，得为三角形单元的面积。其中：*STEP4STEP3STEP2STEP1（1-6）式中（1-7）由上可知，共有6个方程，可以求出6个待定系数。解方程，求得各待定系数和节点位移之间的表达式为（1-8）将式(1-7)及式(1-8)、式(1-9)代入式(1-6)中，得到（1-9）（1-10）上式清楚地表示了单元内任意点位移可由节点位移插值求出。04（1-12）05式中，矩阵[N]称为单元的形函数矩阵；为单元节点位移列阵。其中，为单元的形函数，它们反映单元内位移的分布形态，是x,y坐标的连续函数，且有01式(1-10)又可以写成03（1-11）02（1-13）04式中，[B]称为单元应变矩阵，它是仅与单元几何尺寸有关的常量矩阵，即03利用几何方程由位移函数求应变01根据弹性力学的几何方程，线应变剪切应变则应变列阵可以写成02（1-14）上述方程(1-13)称为单元应变方程，它的意义在于：单元内任意点的应变分量亦可用基本未知量即节点位移分量来表示。12利用广义虎克定律求出单元应力方程上式（1-15）也可写成（1-16）根据广义虎克定律，对于平面应力问题（1-15）式中，为应力列阵；称为弹性力学平面问题的弹性矩阵，并有则有如下单元应力方程由式(1-18)可求单元内任意点的应力分量，它也可用基本未知量即节点位移分量来表示。（1-17）（1-18）3214(4)由虚功原理求单元刚度矩阵根据虚功原理，当弹性结构受到外载荷作用处于平衡状态时，在任意给出的微小的虚位移上，外力在虚位移上所做的虚功AF等于结构内应力在虚应变上所存储的虚变形势能A?，即设处于平衡状态的弹性结构内任一单元发生一个微小的虚位移，则单元各节点的虚位移为（1-20）（1-21）（1-19）则单元内部必定产生相应的虚应变，故单元内任一点的虚应变为显然，虚应变和虚位移之间关系为*设节点力为01则外力虚功为02（1-24）03（1-22）04（1-23）05单元内的虚变形势能为06根据虚功原理（1-26）代人式(1-25)，则有因为（1-25）式中，，均与坐标x,y无关，故可以从积分符号中提出，可得：其中，单元刚度矩阵（1-27）式(1-27)称为单元有限元方程，或称单元刚度方程，其中是单元刚度矩阵。（1-28）因为三角形单元是常应变单元，其应变矩阵[B]、弹性矩阵[D]均为常量，而，所以式(1-28)可以写成（1-29）0504020301式中，t为三角形单元的厚度；?为三角形单元的面积。对于图2所示的三角形单元，将[D]及[B]代入式(1-28)，可以得到单元刚