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2025年

第二章一元二次方程【培优】

一、单选题

1．若x1，x2是一元二次方程x2

A．4 B．3 C．?4 D．?3

2．一元二次方程2x

A．3 B．2 C．?3 D．?5

3．用配方法解方程x2

A．(x?4)2=5 B．(x+4)2=5 C．

4．关于x的一元二次方程3x2?2x+

A．33 B．3 C．30°

5．若关于x的一元二次方程x2+mx+m

A．1 B．2 C．1或2 D．0

二、填空题

6．如果实数a,b满足a+ba+b

7．已知x1，x2是方程x2?3x?2=0的两个实数根，则x

8．已知m，n是方程x2?3x?2=0的两实数根，则m

9．若关于x的一元二次方程x2?4x+c=0有两个相等的实数根，则常数c的值是

10．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为．

11．已知一元二次方程x2?5x?7=0的两根为x1,

三、计算题

12．用适当的方法解方程

（1）x

（2）?3

13．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．

学习再现：

设一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1

那么x2

比较系数得x1+x

类比推广：

（1）设x3+px2+qx+r=0的三个根分别为x1，

问题解决：

（2）若x3?5x2?12x?3=0的三个根分别为x1，

拓展提升：

（3）已知实数a，b，c满足a+b+c=0，且

14．解方程：2x

四、解答题

15．某品牌汽车第一季度的销售量为62.5万辆，第二季度的销售量下降了20%，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第四季度的销售量达到了72

（1）求第二季度的销售量．

（2）求第三、第四季度销售量的平均增长率．

五、作图题

16．阅读与思考：阅读下面内容并完成任务．

小明同学在解一元二次方程（x?3）2＝x?3时，两边同时除以x?3，得到x?3＝1，于是得到原方程根为x＝4；小华同学的解法是：将x?3移到等号左边，得到（

（1）任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断；

（2）任务二：若有不正确，请说明其理由；

（3）任务三：直接写出方程（x?5

六、综合题

17．某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96.8万个．

（1）已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？

18．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率．

19．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m

七、实践探究题

20．[新考法——纠错改错，注重过程性学习]圆圆解方程x2

解方程：x

解：x2

(x+1

x1

（1）圆圆是用（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第步开始出现错误；

（2）请你用不同于（1）中的方法解该方程.

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

2．【答案】D

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

3．【答案】D

【知识点】配方法解一元二次方程

4．【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求特殊角的三角函数值

5．【答案】B

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

6．【答案】36

【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程

7．【答案】-2

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

8．【答案】9

【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值

9．【答案】4

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

10．【答案】x(x?12)=864

【知识点】一元二次方程的其他应用

11．【答案】5

【知识点