专题02与直线有关的三种最值问题（解析版）.docx

专题02与直线有关的三种最值问题

题型01两点间距离的最值问题

【典例分析】

【例1-1】（21-22高二上·四川绵阳·阶段练习）直线，直线与平行且经过点，则，之间距离的最大值是（????）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】判断出直线恒过的定点的坐标，则即为所求距离的最大值.

【详解】直线，也即，恒过定点；

显然若直线平行于且过点，则之间距离的最大值为.

又.

故选：.

【例1-2】（24-25高二上·全国·课后作业）直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是．

【答案】

【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可.

【详解】因为：与直线：的交点坐标为，

所以，

若最大，则最小，则最小，

而，当且仅当时取等，此时，

所以的最大值是．

故答案为：

【例1-3】（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线．

(1)直线是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.

(2)求点到直线的距离的最大值．

【答案】(1)存在，定点为

(2)

【分析】（1）根据题意得到，再求解即可.

（2）根据当时，点到直线的距离的最大，即可得到答案.

【详解】（1）直线，

，令，即直线恒过.

（2）当时，点到直线的距离的最大，

.

【变式演练】

【变式1-1】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由直线过直线与得交点可得，再由两点间的距离公式求出d的最小值.

【详解】联立，解得，

把代入，得，，

点到原点的距离

，

当且仅当时取等号．

点到原点的距离的最小值为．

故选：D．

【变式1-2】（2023高二上·全国·专题练习）点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是．

【答案】

【分析】首先求出直线恒过点，再求出，即可求出点到直线的距离的最大值.

【详解】将直线方程变形为，

令，解得，由此可得直线恒过点，

所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于，

又，

所以到直线的距离的最大值为．

故答案为：

【变式1-3】（23-24高二上·贵州六盘水·期中）已知直线（为任意实数），直线.

(1)当时，求的值；

(2)过点作直线的垂线，垂足为Q，求点Q到直线的距离的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两直线平行公式建立的方程求解，注意检验两直线重合的情况；

（2）先求出直线的垂线，联立方程求解点Q，把点Q到直线的距离的最大值转化为两点的距离求解.

【详解】（1）当时，有，解得；经检验与不重合，

所以.

（2），斜率为，

过点与直线的垂线的直线方程为：即，

联立方程，解得，即Q，

直线即，

联立，解得，所以直线恒过点，

使点Q到直线的距离的最大值，只需线段QR垂直于直线，

此时点Q到直线的距离的最大值为：.

题型02与距离之和（差）有关的最值问题

【典例分析】

【例2-1】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直线方程求出、坐标，然后分和两种情况讨论，利用直线垂直的条件可证两直线垂直，从而得出，再利用基本不等式求得的最大值即可得解.

【详解】解：对直线：，当时，则直线过定点，

对直线：，当时，则直线过定点，

当时，如上图，直线为，直线为，则交点，

此时，，∴；

当时，如上图，直线的斜率为，直线的斜率为，

∵，∴，则是直角三角形，

∴，

又∵，

且，

∴，当且仅当时等号成立.

∴的最大值为.

故选：B.

【例2-2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为.

【答案】

【分析】求出关于的对称点，作出辅助线，当三点共线时，取得最大值，求出最大值.

【详解】设点关于的对称点为，

则，解得，故，

由对称性可知，，

当可组成三角形时，根据三角形三边关系得到，

连接并延长，交于点，则此时，

即当三点共线时，取得最大值，

最大值为.

故答案为：

【例2-3】（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知直线l：.

(1)直线l交x轴于A，交y轴于B，求△AOB的面积为S(O为坐标原点)；

(2)在直线l求一点P，使它分别到点的距离和最小并求最小值.

【答案】(1)8

(2)，最小值为

【分析】（1）求出截距，即可求得面积；

（2）设与M关于直线l对称，由对称性易得，为所求距离的最小值，此时与l交于P.

【详解】（1）直线l交x轴于A，交y轴于B，则由；可知，∴；

（2）设与M关于直线l对称，由对称性易得，为所求距离的最小值，此时与l交于P.

则有，∴.

∴：.

联立两直线可解得交点为，且所求最小值为

【变式演练】