第3讲复数的三角表示及运算讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

第3讲复数的三角表示及运算

一、教学目标

1.掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化;?

2.培养学生的转化，推理及运算能力;

3.掌握会进行复数三角形式的乘除运算；?

4.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.

二、知识点梳理

1.复数的辐角

以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。

适合于0≤θ2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即0≤argz＜2π.

2.复数的三角表达式

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

注意：复数三角形式的特点

模非负，角相同，余弦前，加号连

3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：

两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．

4、复数三角形式的乘法及其几何意义

设z1z2的三角形式分别是：z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）.

则z1·z2=

简记为：模数相乘，幅角相加

几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．

5、复数三角形式的除法及其几何意义

设z1z2的三角形式分别是：z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）.

则z1÷z2=

简记为：模数相除，幅角相减

几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是.

典型例题及课堂练习

题型一复数的三角形式

例1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

(1)z1＝cos60°＋isin30°；

(2)z2＝2(coseq\f(π,5)－isineq\f(π,5))；

(3)z3＝－sinθ＋icosθ.

解题技巧（复数三角形式的判断依据和变形步骤）

(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.

跟踪训练一

1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

(1)z1＝2(coseq\f(11,12)π＋isineq\f(11,12)π)；

(2)z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)；

(3)z3＝－2(cosθ＋isinθ)．

题型二复数的代数形式表示成三角形式

例2画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

（1）；（2）.

解题技巧：(复数的代数形式化三角形式的步骤)

(1)先求复数的模；

(2)决定辐角所在的象限；

(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；

(4)写出复数的三角形式．

跟踪训练二

1．把下列复数表示成三角形式：

(1)1；(2)－2i；(3)eq\r(3)－i;(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))．

题型三把复数表示成代数形式

例3分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：

（1）；（2）.

解题技巧（把复数表示成代数形式的注意事项）

（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．

跟踪训练三

1．把下列复数表示成代数形式：

(1)z1＝3(coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))；

(2)z2＝2[cos(－eq\f(π,2))＋isin(－eq\f(π,2))]；

(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)．

题型四复数的三角形式乘法运算

例4已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.

解题技巧（复数的三角形式乘法运算的注意事项）

两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加.

跟踪训练一

1．计算下列各式：

（1）；（2）；

题型五复数的三角形式除法运算

例5计算.

解题技巧：(复数的三角形式除法运算的注意事项)

两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减