特征值与特征向量(高等代数课件).ppt

第七章线性变换2线性变换的运算013线性变换的矩阵024特征值与特征向量031线性变换的定义046线性变换的值域与核058若当标准形简介069最小多项式077不变子空间08小结与习题095对角矩阵107.4特征值与特征向量一、特征值与特征向量二、特征值与特征向量的求法§7.4特征值与特征向量三、特征子空间四、特征多项式的有关性质引入特征值与特征向量01从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当02的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是03一个对角矩阵?04有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性05希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.06变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质，077.4特征值与特征向量设是数域P上线性空间V的一个线性变换，则称为的一个特征值，称为的属于特征值一、特征值与特征向量定义：若对于P中的一个数存在一个V的非零向量使得的特征向量.7.4特征值与特征向量①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，注：相同或相反时②若是的属于特征值的特征向量，则也是的属于的特征向量.但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则7.4特征值与特征向量设是V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A.下的坐标记为二、特征值与特征向量的求法分析：设是的特征值，它的一个特征向量在基则在基下的坐标为7.4特征值与特征向量而的坐标是于是又从而又即是线性方程组的解，∴有非零解.所以它的系数行列式7.4特征值与特征向量以上分析说明：若是的特征值，则反之，若满足则齐次线性方程组有非零解.若是一个非零解，特征向量.则向量就是的属于的一个7.4特征值与特征向量设是一个文字，矩阵称为称为A的特征多项式.1.特征多项式的定义A的特征矩阵，它的行列式（是数域P上的一个n次多项式）7.4特征值与特征向量②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：①若矩阵A是线性变换关于V的一组基的矩阵，而是的一个特征值，则是特征多项式的根，即的一个特征值.反之，若是A的特征多项式的根，则就是（所以，特征值也称特征根.）而相应的线性方程组的非零解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.7.4特征值与特征向量i)在V中任取一组基写出在这组基下就是的全部特征值.ii)求A的特征多项式在P上的全部根它们2.求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵A.iii)把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量在基下的坐标.)并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值如果特征值对应方程组的基础解系为：7.4特征值与特征向量添加标题1则添加标题2就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量.添加标题3而添加标题4（其中，不全为零）添加标题5就是的属于的全部特征向量.添加标题67.4特征值与特征向量对皆有所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是故数乘法变换K的特征值只有数k，且7.4特征值与特征向量解：A的特征多项式例2.设线性变换在基下的矩阵是求特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）7.4特征值与特征向量把代入齐次方程组得即它的一个基础解系为：因此，属于的两个线性无关的特征向量为而属于的全部特征向量为不全为零7.4特征值与特征向量因此，属于5的一个线性无关的特征向量为把代入齐次方程组得解得它的一个基础解系为：而属于5的全部特征向量为三、特征子空间7.4特征值与特