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浙江省宁波市2025届高三上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若全集，，，则（???）

A． B． C． D．

2．若复数满足（是虚数单位），则（???）

A． B． C． D．

3．已知向量，若，则实数（???）

A．1 B． C． D．

4．已知为实数，条件：，条件：，则是的（???）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知随机变量，，则（???）

A．a B． C． D．

6．若存在实数a，使得直线与圆相切，则实数b的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

7．已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（???）

A． B． C． D．

8．已知，，满足，则xy的值是（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知随机事件A，B发生的概率分别为，事件A，B的对立事件分别为，，则下列结论正确的是（???）

A．

B．若A与B互斥，则

C．若，则A，B相互独立

D．

10．已知函数，则下列结论正确的是（???）

A．函数的值域为

B．函数的一条对称轴为

C．若函数在上单调递增，则的取值范围为

D．设为函数的导数，则方程恰有4个不同的实数解

11．已知数列满足：，，，则下列结论正确的是（???）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．在的展开式中，含的项的系数为（用数字作答）.

13．“米升子”是一种古代专司量米的量器，其形状是上大下小的正四棱台.将“米升子”装满后用手指或筷子沿升子口刮平叫“平升”.现有一“米升子”的缩小模型，上、下两面正方形的边长分别为5cm和3cm，侧面与上面的夹角为，则该“米升子”模型“平升”的容积为

14．某学校篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第5次传球后球在队员甲手中的概率为.

四、解答题

15．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

(1)求B的大小;

(2)若，，成等差数列，且的外接圆半径为1，求的面积.

16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，其中，，，点为棱上一点.

(1)当为的中点时，证明：；

(2)若直线与平面的所成角的正弦值为，求的大小.

17．已知函数．

(1)当时，求的单调增区间；

(2)证明：当时，．

18．双曲线左顶点为A，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为，过A点的两条直线分别交双曲线的右支于点P，Q，且

(1)求双曲线的方程；

(2)（ⅰ）证明：直线PQ过定点；

（ⅱ）直线AP，AQ，PQ分别交直线于点M，N，T，若，求PQ的直线方程.

19．已知数列，定义，其中i，且

(1)若，求和

(2)若，证明：对于且，，，都有

(3)对于，4，，n，设若正项数列为递增数列，求证：中至少有两个不同的元素，且中最大元素与最小元素之比小于

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《浙江省宁波市2025届高三上学期期末考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

D

B

B

D

C

A

ABC

AC

题号

11

答案

ABC

1．A

【分析】利用集合的交、并、补集运算即得.

【详解】由已知可得全集，，

则，

故选：A.

2．C

【分析】根据复数的运算可得，进而根据复数模的运算可得.

【详解】因为，所以，

故选：C

3．D

【分析】由向量平行的坐标表示即可求解；

【详解】解：向量，，

，

解得，

故选：D

4．B

【分析】从充分性和必要性两个角度分别判断即可.

【详解】解：因为为实数，所以由得，

故由件：能推出：；

反之，当，时，满足，但是，

所以是的充分不必要条件.

故选：B

5．B

【分析】由正态分布的性质可得正态分布的图像的对称轴为，由，可得，进而求得.

【详解】随机变量，

正态曲线关于对称，

，

，

故选：B.

6．D

【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质列式计算得解.

【详解】圆的圆心为，半径为1，

由直线与圆相切，得对于实数a有解，

由，解得：或，

所以实数b的取值范围是.

故选：D.

7．C

【分析】首先根据单调性的定义得到的范围，接着将