专题 3-1 导数的概念与运算（原卷版）-2025年高考数学题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）.docxVIP

专题3-1导数的概念与运算

近5年考情（2020-2024）

考题统计

考点分析

考点要求

2024年甲卷第6题，5分

高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．

（1）导数的概念和定义

（2）导数的运算

（3）求过某点的切线方程

2024年I卷第13题，5分

2023年甲卷第8题，5分

2021年I卷第7题，5分

2021年甲卷第13题，5分

模块一

模块一

总览

热点题型解读（目录）

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率）

【题型2】导数的定义中极限的简单计算

【题型4】导数的运算

【题型3】导数的几何意义初步

【题型5】复合函数求导

【题型6】导数的赋值运算

模块二

模块二

核心题型·举一反三

【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率）

1.求平均变化率的主要步骤：

(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).

(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.

(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).

2．瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆．

函数在区间，上的平均变化率为15，则实数的值为

A． B． C．1 D．2

已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________．

【巩固练习1】某物体的运动方程为，若（位移单位：，时间单位：，则下列说法中正确的是

A．是物体从开始到这段时间内的平均速度

B．是物体从到△这段时间内的速度

C．是物体在这一时刻的瞬时速度

D．是物体从到△这段时间内的平均速度

【巩固练习2】若函数在区间，△上的平均变化率为，在区间△，上的平均变化率为，则

A．

B．

C．

D．与的大小关系与的取值有关

【巩固练习3】如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（????）

A． B． C． D．

【题型2】导数的定义中极限的简单计算

函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．

知识点诠释：

①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；

②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

无限接近；

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．

导数的物理意义

函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．

若函数在区间内可导，且，则的值为（????）

A． B．

C． D．0

（2024·江苏南通·二模）已知，当时，.

【巩固练习1】设函数可导，（1）则．

【巩固练习2】函数在区间内可导，且若，则

A． B． C． D．不确定

【巩固练习3】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（????）

A． B．

C． D．

【题型4】导数的运算

一、基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

（为常数）

二、导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：；

（2）函数积的求导法则：；

（3）函数商的求导法则：，则．

特别地：

①，

②，

求下列函数的导数．

(1) (2)；

设函数，则的值为（????）

A．10 B．59 C． D．0

【巩固练习1】求下列函数的导数．

(1)

(2)

(3)

(4)

【巩固练习2】求下列函数的导函数．

(1)；

(2)；

【巩固练习3】在等比数列中，，若函数，则（????）

A． B． C． D．

【题型3】导数的几何意义初步

导数的几何意义

导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小，函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．

函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（???????）

A．

B．

C．

D．

（湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线在点处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

（23-24高三上·福建福州·期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（????）

A． B． C． D．

【巩固练习1】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是

A．（2）（