三角恒等变换与三角函数核心公式应用.pdfVIP

模块二三角恒等变换

第1节和差角、辅助角、二倍角公式（★★☆）

内容提要

和差角、辅助角、二倍角公式是三角函数的核心公式，本节涉及一些有关公式应用的基础题，让大家熟悉

公式的简单应用，下面先梳理这些公式

1．和差角公式

①sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;

②cos(α+β)=cosacosβ-sinasinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

tanα+tanβtanα-tanβ

③tan(α+β)=tan(α-β)=

1-tanαtanβ1+tanαtanβ

6

2.辅助角公式：asinx+bcosx=√a+bsin(x+@)，其中cosp=sin@tanΦ

√a+bVa+b

在辅助角公式中，若α0，则∈（-)；若a0，可先提负号到外面，再用辅助角公式合并.

3．二倍角公式及其变形

①二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα，tan2α=2tanα

1-tanα

1-cos2α1+cos2α1

②降次公式：sinα=cosa=sinacosasin2α.

222

③升次公式：1+cos2α=2cosα，1-cos2α=2sinα，1±sin2α=(sinα±cosα)，1=sinα+cosα.

典型例题

类型I：正弦、余弦的和差角、二倍角公式的应用

例【1】已知sinα：√5

5

解析：将cos(α

)展开会出现cosα和sinα，故先由sinα求cosα，

V52√5

因为sinα=,π)，所以cosα=-√1-sinα=

25

ππ2√5.√23√10

#√

故cos(α+cosacossinαsin

44525210

3√10

答案：

10

【变式1】已知sin(-4+α)=3则sin2α=

解法1：先尝试简单的思路，把所给条件展开，看它与要求的sin2α的联系，

√2V2

+α)=sincosa+cossina=(cosa+sina):cosα+sinα=

4344233

所以(cosα+sinα)=cosα+sinα+2cosαsinα=1+sin2α=9故sin2α=9