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专题一三角函数和解三角形

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1．三角函数和解三角形是高考的热点题型，从近五年的高考试题来

看，呈现较强的规律性，每年的题量和分值为两个小题10分，或一个小

题一个大题17分，间隔出现

2．该部分常考查的内容有：

（1）三角函数的图像与性质；

（2）三角恒等变换与诱导公式;

（3）利用正弦定理和余弦定理解三角形

3．在解题过程中，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注

意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题

的转化.

4．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.

其命题规律可以从以下两方面看：

（1）从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，

一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学

生利用三角函数公式处理问题的能力；

（2）从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、

余弦定理，在知识的交汇处命题

例题精析

【例1】在△ABC中，若αtanB=btanA，试判断△ABC的形状

·解题指南

（1）考查切割化弦的思想，利用正弦定理将边化角，得到

sinA.sinBsinA

=sinB.利用三角函数倍角公式得到结论

cosBcOSA

（2）考查切割化弦的思想，利用正弦定理将边化角，得到

sinA.sinBsinB.sinA利用三角函数和差化积公式得到结论，

cosBCOSA

·解析

方法一：由已知及正弦定理，得

sinBsinA

sinA.=sinB·

COsBCOSA

即sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B.

因为02A，2B2π，2A+2B2π,

所以2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=

所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形

方法二：在得到sin2A=sin2B后，也可以化为sin2A－sin2B=0，得

2cos(A+B)sin(A-B)=0,

所以cos(A+B)=O或sin(A-B)=0

因为OA+Bπ，且－πA－Bπ,

所以A+B=

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所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

变式1在△ABC中，若B=60°，2b=α+c，试判断△ABC的形状.

（2）利用余弦定理进行转化，进而得到结论，

·解析

方法一：由正弦定理得

2sinB=sinA+sinC.

因为B=60°，所以

A+C=120°，即A=120°-C.

代人上式，得

2sin60°=sin(120°-C)+sinC

展开，整理得

sin(C+30°)=1=C+30°=90°，即C=60°,

故A=60°，所以△ABC为正三角形

方法二：由余弦定理得

b=a+c-2accosB.

因为B=60°，b=+D所以

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a+c-2accos60°

整理得

(a-c)=0，即α=c,

从而α=b=c，所以△ABC为正三角形

【例2】（2015年浙江高考理科卷）在△ABC中，内角A，B，C所对

的边分别为α，b，c，已知A=b

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