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第一章一元函数的极限与连续1

第一章一元函数的极限与连续

高等数学研究的对象是函数,而研究函数的基本方法是极限方法.极限方法是利用有限

描述无限、由近似过渡到精确的一种工具和过程.本章首先简要总结函数的概念及其性质,

然后介绍函数的极限和连续性等概念,以及它们的一些性质.

第一节函数

一、函数的概念

1.区间与邻域

区间是指介于某两点之间线段上的点的全体,是高等数学中最常用的一类实数集.区间

包括有限区间和无限区间.

设ab,R,且ab,实数集{xaxb}称为以ab,为端点的开区间,记作(ab,),即

(ab,){xaxb}

类似的,可以定义以ab,为端点的闭区间[ab,]和半开区间[ab,),(ab,],即

[ab,]{xa≤x≤b},[ab,){xa≤xb},(ab,]{xax≤b}

以上这几类区间统称为有限区间,数ba称为这些区间的长度.从数轴上看,这些有限

区间均是长度为有限的线段（见图1.1）.

（a）（b）

（c）（d）

图1.1



此外还有无限区间,为此需引进记号“与“,依次读作“正无穷大与“负

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2高等数学

无穷大.因此对aR,有

[a,){xx≥a},(a,){xxa}

(,a]{xx≤a},(,a)xxa



(,){xxR}

有限区间和无限区间统称为区间.以后在不需要辨明所论区间是否包含端点,以及是否

是有限区间还是无限区间的场合,就简单的称它们为“区间,且常用I表示.

邻域是一种常见的集合.设