线性代数课件：位似变换与伸缩变换.pptx

位似变换与伸缩变换

主要学习内容矩阵位似变换及其矩阵表示伸缩变换及其矩阵表示伸缩变换的应用：数据的标准

图形的伸缩在生活中被广泛的应用.比如，在查看不同比例尺的地图时，就是在进行位似变换。地图的缩放可以让使用者在不同比例下观察到相同区域的形状和相对位置，而不改变它们的相似性.在数码摄影中，拍摄者可以使用变焦镜头进行缩放。这是一种位似变换，因为它同时改变了场景的大小和形状，但保持了物体之间的相对位置和几何形状，见图9-1.【导入】图9-1保持图形相似的位似变换

在几何学中，如果两个三角形的对应角相等，它们被认为是相似的.通过位似变换，可以将一个相似三角形转换为另一个，保持它们的形状和角度关系.计算机图形学中的图像处理涉及到位似变换.通过缩放和旋转，可以调整图像的大小和方向，而仍然保持物体之间的几何相似性.在三维建模和计算机辅助设计（CAD）中，位似变换用于调整和编辑三维模型的大小和形状，同时保持模型内部的比例关系.

本章主要介绍一种特殊的线性变换：位似变换，主要阐述其标准矩阵通过矩阵乘法作用在向量上实现变换.紧接着介绍位似变换的一种更一般的形式：伸缩变换，它可以改变图形的形状和比例，常用于图像编辑、地理信息系统、医学图像处理等领域.主要通过数学表达和几何解释介绍了位似变换和伸缩变换的概念和实现方式，包括它们的标准矩阵表示和几何意义并得到一般性的结论。最后提到了一个有用的推论，即如果变换前后的坐标之间的关系是一次式，那么这个变换一定是线性变换.另外在第三小节展现了伸缩变换在数据处理中的作用.

先考虑将某张图片“扩大”3倍，将图像的每个维度（宽度和高度）都增加到原始尺寸的3倍，见图9-2，这是通过缩放操作来实现的.第一节位似变换及其矩阵表示图9-2将原图形“扩大”3倍

观察图9-1可以发现除了落在坐标原点的顶点坐标未发生改变外，其余所有的坐标均变原坐标的3倍.在工程应用上，建立线性变换的时候通常是观察其表现即点与点之间的对应关系得到其几何表现或是语言描述.就像8.1节中，通过文字的描述可以得到一个给定的点经过变换之后像的位置.思考：线性变换有没有可以进行直接计算的显式公式？第一节位似变换及其矩阵表示

?第一节位似变换及其矩阵表示

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?第一节位似变换及其矩阵表示

?第一节位似变换及其矩阵表示

?第一节位似变换及其矩阵表示

?第一节位似变换及其矩阵表示?

?图9-3矩阵乘法作用在向量上的效果第一节位似变换及其矩阵表示

?第一节位似变换及其矩阵表示

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注意到位似变换的效果是将图形在各个方向上进行相同程度的伸缩，但是现实生活中可能遇到并不需要这种保持图形一直相似的变化，像是在图像编辑软件中，将图像缩小以适应网页布局或将图像放大以用于打印。这类变换主要用于改变图像中特定区域的大小，进行图像修复或图像合成等操作。将这种更一般的变换称为伸缩变换，与位似变换不同的是在伸缩变换过程中可能会使图形失去原来的比例，见图9-4.第二节伸缩变换及其矩阵表示图9-4伸缩变换可能会改变原图形的形状

实际生活中，常常使用这样的变换。在地理信息系统（GIS）中，伸缩变换用于调整地图的比例尺。通过伸缩变换，可以将地图的大小调整到适合特定的显示尺寸，让使用者能够更清晰地观察地图上的细节或将其与其他地图进行比较.在生产过程中可能需要将零件的尺寸放大或缩小以满足特定的要求。此外，伸缩变换也可以用于调整产品的比例，进行模型测试或设计优化.伸缩变换还可用于调整医学图像的比例尺，使医生能够更准确地测量和分析病变区域的大小。此外，伸缩变换还可以用于医学图像的增强和重建，以提供更清晰的图像.在地震学和地质学中，伸缩变换可用于处理地震数据和地质数据，以研究地球内部的结构和特征。通过对地震波形数据进行伸缩变换，可以更准确地分析地球内部的地质结构和地震活动.第二节伸缩变换及其矩阵表示

第二节伸缩变换及其矩阵表示思考：在已有位似变换的基础上，怎么通过调整位似变换的标准矩阵得到拉伸或者收缩变换的标准矩阵？位似变换与伸缩变换的作用均是将图形进行拉伸和伸缩.

通过简单的分析可以知道伸缩变换与位似变换的区别在于位似变换是在所有方向上均做同等程度的伸缩，一直保持物体的相似性.而伸缩变换仅在某些方向是进行伸缩并且伸缩的程度不一致.两种变换均表现为“伸”或“缩”的变化，于是可以将位似变换看作特殊的伸缩变换.所以仅需在位似变换的标准矩阵中找到如何表现这种差异的部分就可以解决伸缩变换表达式的问题第二节伸缩变换及其矩阵表示思考：在已有位似变换的基础上，怎么通过调整位似变换的标准矩阵得到拉伸或者收缩变换