77-二重积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.1、曲顶柱体体积一、二重积分概念柱体体积=底面积╳高第七节二重积分1第1页

播放求曲顶柱体体积采取“分割、取近似、求和、取极限”方法，以下动画演示．2第2页

1)“分割”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“取近似”在每个则以平带曲中任取一点小曲顶柱体3第3页

4)“取极限”令3)“近似和”4第4页

2、二重积分定义5第5页

积分区域积分和被积函数积分变量被积表示式面积元素即什么样函数可积呢？在二重积分定义中，对闭区域划分是任意，取点是任意.6第6页

假如在D上可积,这时分区域D,可用平行坐标轴直线来划则面积元素为故二重积分可写为引例1中曲顶柱体体积:7第7页

二重积分几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值．8第8页

(1)若(2)若偶倍奇零回想:在一元函数定积分学中,假如积分区间对称性与被积函数奇偶性相结合则有更详细,问题:多元函数重积分有没有类似规律?9第9页

设函数D位于x轴上方部分为D1,在D上在闭区域D上连续,(1)设域D关于x轴对称(关于变量y对称性),则则DD位于y轴右侧部分为D2,在D上(2)设域D关于y轴对称(关于变量x对称性),则则10第10页

(3)域D关于原点对称,则则在第一象限部分,则有想几何图形11第11页

3、二重积分性质下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D面积.性质2线性性质这里A为D面积.性质112第12页

性质4性质3区域可加性推论1推论2保号性保序性13第13页

性质5估值性质证所以于是14第14页

性质6(二重积分中值定理)几何意义：曲顶柱体体积=某一点平顶柱体体积是离散平均值在连续上代替物15第15页

abxyo假如积分区域为D：1、在直角坐标系下计算二重积分二、二重积分计算X型区域特点：穿过区域内部且平行于y轴直线与区域边界相交不多于两个交点.abxyo16第16页

dxyoc假如积分区域为：Y型区域特点：穿过区域内部且平行于x轴直线与区域边界相交不多于两个交点.17第17页

已知平行截面面积立体体积设所给立体垂直于x轴截面面积为A(x),则对应于小区间体积元素为所以所求立体体积为上连续,回想---微元法主要应用18第18页

设曲顶柱底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体曲边梯形19第19页

积分区域为：普通地，——先对y积分，后对x积分二次积分记为abxyo20第20页

dxyoc假如积分区域为：——先对x积分，后对y积分二次积分21第21页

说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还能够交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则22第22页

2.计算方法步骤画D计算分步写D选型说明选型二要素:不或少分区f(x,y)可或易积若D域为复杂型,或分区或另选坐标系23第23页

将化为二次积分,其中D由直线围成。解法1先画出积分区域D，将D向y轴投影，先x后y,例1xyo24第24页

xyo解法2先y后x,将D向x轴投影,25第25页

例2.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则看成X型域或Y型域都行，而且计算量一样大26第26页

解例3先求两曲线交点先对y积分，27第27页

解例4只能先积分x，先积分y是无法计算28第28页

例2’.计算其中D是直线所围成闭区域.解:由被积函数可知,所以取D为X–型域:先对x积分不行,只能先积分y，先积分x是无法计算29第29页

计算积分需要注意问题初等函数原函数不一定是初等函数,所以不一定都能积出.比如,30第30页

解例5先x后y,两曲线交点31第31页

解例5两曲线交点选择积分次序标准：若选择先y后x,(1)积分轻易；(2)尽可能少分块或不分块.麻烦。32第32页

例4.求两个底圆半径为R直交圆柱面所围体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体顶为则所求体积为33第33页

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解例635第35页

解积分