专题7-1 求数列的通项公式【14类题型汇总】（原卷版）- 2025年高考数学二轮题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）.docxVIP

专题7-1求数列的通项公式14类题型汇总

近5年考情（2020-2024）

考题统计

考点分析

考点要求

2024年甲（理）第18（1），5分

高考对数列通项的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列通项问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.

掌握数列通项的几种常见方法．

2023年甲（理）第17（1），5分

2023年II卷第18（1），5分

2023年I卷第20（1），5分

2022年I卷第17（1），5分

2022年甲（理）第17（1），5分

2021年乙（理）第19题，12分

2021年I卷，第17（1）,5分

模块一

模块一

总览

热点题型解读（目录）

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】由an与Sn关系求通项（三类题型）

【题型2】因式分解型（正项数列）

【题型3】已知等差或等比求通项

【题型4】累加法

【题型5】累乘法

【题型6】前n项之积Tn

【题型7】取倒数

【题型8】构造1：形如an+1=

【题型9】构造2：形如an+1=p

【题型10】构造3：形如an+1=p

【题型11】构造4：形如an+1=ma

【题型12】构造5：形如an+2=pan+1

【题型12】奇偶相间讨论型（奇偶数列）

【题型13】隔项等差

【题型14】隔项等比（积为等比与和为等比）

模块二

模块二

核心题型·举一反三

【题型1】由an与Sn关系求通项（三类题型）

与同时存在

角度1：已知与的关系；或与的关系

用，得到

例：已知，求

角度2：已知与的关系；或与的关系

替换题中的

例：已知；

已知

角度3：等式中左侧含有：

作差法

（类似）

例子：已知求

模板解决步骤

第一步：写出当时，的表达式．

第二步：利用求出或将条件转化为的递推关系．

第三步：如果第二步求出，那么根据求出，并代入的通项公式，注意要进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写成分段的形式．如果第二步求出的递推关系，那么通过递推公式求．

忽略对的单独讨论是常见的错误

类型一用，得到

在数列中，，前项和，则数列的通项公式为．

（2022·全国·甲卷高考真题）记为数列的前n项和．已知,证明：是等差数列

【巩固练习1】（2023·全国·高考甲卷真题）设为数列的前n项和，已知，求的通项公式.

【巩固练习2】已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________.

【巩固练习3】（2024·全国·甲卷高考真题）记为数列an的前项和，已知，求an的通项公式.

类型二等式中左侧含有：

（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（????）

A． B．1 C． D．2

【巩固练习1】已知数列的前项和为，且有．求数列的通项公式.

【巩固练习2】在数列中，，求的通项公式.

类型三消求：将题意中的用替换

设为数列的前项和，已知，求

【巩固练习1】在数列中,,则的通项公式为.

【巩固练习2】已知数列的前n项和为，，且，求通项公式．

【题型2】因式分解型（正项数列）

对于式子中有提到且出现二次式可以考虑利用十字相乘进行因式分解．

已知各项为正数的数列的前项和为，满足．求数列的通项公式

【巩固练习1】记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列；

【巩固练习2】已知数列的前项和，且满足，求的通项公式；

【巩固练习3】已知数列是递增数列，其前项和满足.证明：是等差数列

【题型3】已知等差或等比求通项

当题目中给了数列为等差或等比时，可以从前几项入手求基本量，不要再去消Sn

已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，求数列的通项公式

（2023·全国·高考1卷真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．，若，求的通项公式

（2023·全国·高考II卷真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，求的通项公式

【巩固练习1】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式

【巩固练习2】知等比数列中，，求数列的通项公式及它的前n项和.

【巩固练习3】已知数列为等比数列，其前项和为，且满足，求的值及数列的通项公式

【题型4】累加法

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相加，可得：

（1）若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

（2）若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

（3）若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．

在数列中，，，则

A． B． C． D．

在数列中，已知，且，则．

（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式

（2024·山东潍坊·一模）已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则