中考数学二轮复习讲练测题型九 二次函数综合题 类型九 二次函数与菱形有关的问题（专题训练）（解析版）.doc

题型九二次函数综合题

类型九二次函数与菱形有关的问题（专题训练）

1.（2022·湖南湘潭）已知抛物线．

(1)如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．

①求该抛物线所表示的二次函数表达式；

②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

(2)如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．

【答案】(1)①，②存在，点P坐标为(2，-3)或（，-），理由见解析

(2)b或b

【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，代入求解即可；

（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．

(1)

①解：把，代入，得

，

解得：，

∴

②解：存在，理由如下，

设直线AB的解析式为y=kx+b，把，代入，得

，

解得，

∴直线AB的解析式为y=x-3，

设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）

若点是线段的三等分点，

则或，

即或，

解得：m=2或m=或m=3，

经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，

∴m=2或m=

∴点P坐标为(2，-3)或（，-）

(2)解：把点D（-3，0）代入直线，解得n=4，

∴直线，

当x=0时，y=4，即点C（0，4）

∴CD==5，

∵四边形CDFE是菱形，

∴CE=EF=DF=CD=5，

∴点E（5，4）

∵点在抛物线上，

∴（-3）2-3b+c=0，

∴c=3b-9，

∴，

∵该抛物线与线段没有交点，

分情况讨论

当CE在抛物线内时

52+5b+3b-94

解得：b

当CE在抛物线右侧时，

3b-94

解得：b

综上所述，b或b

【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．

2．（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．

（1）求的值；

（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．

①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；

②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．

【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由见解析

【分析】

（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；

（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；

②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），

∴，

解得：，

∴b=，c=；

（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，

设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），

∵0m3，

∴PQ=m-(m2-2m-3)=-m2+3m+3=-+，

∵-10，

∴当时，PQ有最大值，最大值为；

②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，

∴C（0，-3），

∴OB=OC=3，

由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），

∵PQ∥OC，

当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，

当点Q在点P上方时，

∴PQ=，即，

∴，

解得或，

当时，点P与点O重合，菱形不存在，

当时，点P与点B重合，此时BC=，菱形也不存在；

当点Q在点P下方时，

若点Q在第三象限，如图，

∵∠COQ=45°，

根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，

此时OA=1OC=3，菱形不存在，

若点Q在第一象限，如图，

同理，菱形不存在，

综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．

3.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2