江苏专用2024年高考数学一轮复习考点31数列的综合问题必刷题含解析.docVIP

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考点31数列的综合问题

1．（盐城市2025届高三年级第一学期期中模拟考试）已知数列满意：，.若成等差数列，，，则=__________.

【答案】1

【解析】

依据题意,数列{an}满意：a1=3,(n?2)，

则a2=2a1?3=2×3?3=3，

a3=2a2?3=2×3+3=9，

a4=2a3+3=2×9?3=15，

其中a1、a3、a4为等差数列的前3项，

又由{a?k1}是等差数列,且k1=1，

则有k2=3,k3=4，

则k3?k2=1．

2．（江苏省南京师大附中2025届高三高考考前模拟考试）在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且随意连续三项的和都是15，则a2024＝______．

【答案】9

【解析】

由题意可得an+an+1+an+2=15，将n换为an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得数列{an是周期为3的数列．故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案为9.

3．（江苏省南京师范高校附属中学2025届高三高考模拟）设数列的前项的和为，且

，若对于随意的都有恒成立，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】由题设可得，则，不等式

可化为，即，则问题转化为求的最大值和最小值。由于，所以的最大值和最小值分别为和，则

，即，应填答案。

点睛：解答本题的关键是求出数列的前项的和为，，进而求出，将不等式等价转化为，即恒成立，从而将问题转化为求的最大值和最小值问题。

4．（江苏省南通市2024年高考数学模拟试题）设数列的前n项和为，已知，（）．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若数列满意：，．

①求数列的通项公式；

②是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出全部n的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2），

【解析】

（1）解：由，得（），

两式相减，得，即（）．

因为，由，得，所以，

所以对随意都成立，

所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．

（2）①由（1）知，，

由，得，

即，即，

因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

所以，

所以．

②设，

则，

所以，

两式相减，

得，

所以．

由，得，即．

明显当时，上式成立，

设（），即．

因为，

所以数列单调递减，

所以只有唯一解，

所以存在唯一正整数，使得成立．

5．（江苏省南京师大附中2025届高三高考考前模拟考试数学试题）已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；

（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{}的前n项和为An．若数列{pn}满意p1＝c1，且对?n≥2,n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．

【答案】（1）（2）或（3）见解析

【解析】

（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：

解得d＝1，q＝2，

所以.

（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，

有，

即，

由于，且为正整数，所以，

所以，

可得，即，

①当1≤m≤2时，不等式不成立；

②当或时成立；

③当时，，，即，则有；

所以的最小值为6，

当且仅当，且或时取得．

（3）由题意得：

（1）

（2）

（1）—（2）得

，

求得，

所以，

设，则，

所以在上单调递增，有，

可得.

当，且N*时，，

有，

所以，

可得，

所以.

6．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2025届高三4月联考）科学探讨证明,二氧化碳等温