《张量场与场向量》课件.pptVIP

张量场与场向量

课程大纲

引言

课程的背景和意义

向量基础

向量概念、运算、空间

张量基础

张量概念、秩、成分变换

场与微积分

向量场、标量场、微分算子

引言

数学基础

张量场和场向量是数学中重要的概念，它们在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。张量场描述了空间中每个点的张量值，而场向量则是空间中每个点的向量值。

物理意义

在物理学中，张量场和场向量用于描述各种物理现象，例如电磁场、重力场、应力场等。它们可以用来描述物理量的变化趋势，以及不同物理量之间的关系。

向量的概念

几何表示

向量可以用箭头表示，箭头的大小表示向量的模长，箭头的方向表示向量的方向。向量可以表示位移、速度、力等物理量。

代数表示

向量可以用有序数组表示，例如二维向量可以用(x,y)表示，三维向量可以用(x,y,z)表示。向量还可以用矩阵表示。

向量的运算

1

加法

向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。两个向量相加的结果仍然是一个向量，其大小和方向由两个向量决定。向量加法满足交换律和结合律。

2

减法

向量减法可以理解为加上一个反向的向量。向量减法的结果仍然是一个向量，其大小和方向由两个向量决定。

3

乘法

向量乘法分为两种：标量乘法和向量乘法。标量乘法是指将一个向量乘以一个标量，结果仍然是一个向量，其大小和方向由标量和向量决定。向量乘法分为点积和叉积，点积的结果是一个标量，而叉积的结果是一个向量。

向量的线性空间

定义

向量空间是指由向量组成的集合，并定义了加法和数乘运算，满足以下公理：

加法封闭性

加法交换律

加法结合律

存在零向量

存在负向量

数乘封闭性

数乘结合律

数乘分配律

性质

向量空间具有线性结构，满足线性组合、线性无关、基向量等概念，是线性代数的基础理论。

例子

常见的向量空间包括实数空间、复数空间、多项式空间等，它们都是线性代数中重要的研究对象。

向量的坐标表示

1

坐标系

向量可以表示为在特定坐标系下的坐标值。例如，在二维空间中，向量可以用(x,y)表示，其中x是向量在x轴上的投影，y是向量在y轴上的投影。

2

基向量

坐标系中的每个轴都对应着一个基向量，它们是单位长度且方向与坐标轴一致的向量。例如，二维空间中的基向量是(1,0)和(0,1)，分别表示x轴和y轴方向。

3

线性组合

向量可以表示为基向量的线性组合。例如，向量(3,2)可以表示为3*(1,0)+2*(0,1)，即3个x轴基向量加上2个y轴基向量。

基向量

基向量是向量空间中的一组线性无关的向量，它们可以线性表示向量空间中的所有向量。

在n维向量空间中，基向量通常被选为n个相互正交的单位向量，它们构成一个正交基。

基向量可以用来定义向量空间中的坐标系，每个向量都可以用基向量线性组合的形式表示。

张量的概念

定义

张量是数学中的一个概念，用来描述线性变换。它可以被看作是多维数组，其中每个元素对应着线性变换中的一个系数。张量可以是标量、向量或更高阶的量。

应用

张量在许多领域都有应用，包括物理学、工程学和计算机科学。例如，在物理学中，张量用来描述应力、应变和电磁场等物理量。在工程学中，张量用来描述材料的力学性能和结构的应力分析。

张量的秩

零阶

一阶

二阶

三阶

张量的秩表示张量的阶数，也就是它所包含的索引数量。例如，零阶张量是标量，一阶张量是向量，二阶张量是矩阵，三阶张量是三维数组等等。

张量的成分变换

1

坐标系变换

张量在不同坐标系下的成分会发生变化。

2

变换矩阵

通过线性变换矩阵来描述张量成分的变化关系。

3

变换公式

利用变换矩阵和张量在原坐标系下的成分计算出张量在新的坐标系下的成分。

张量成分变换是张量理论中的重要概念，它揭示了张量在不同坐标系下的变化规律。通过理解张量成分变换，我们可以更加深入地理解张量的本质，并将其应用于各种物理和数学问题中。

对称张量和反对称张量

对称张量

对称张量满足以下条件：

Aij=Aji

这意味着张量的分量在索引交换时保持不变。例如，应力张量是对称的。

反对称张量

反对称张量满足以下条件：

Aij=-Aji

这意味着张量的分量在索引交换时改变符号。例如，电磁场张量是反对称的。

张量的加法和乘法

1

张量加法

相同阶数的张量可以相加，加法规则是对应元素相加。

2

张量乘法

张量乘法有几种类型，包括：

-标量乘法：将张量每个元素乘以一个标量

-张量点积：两个相同阶数的张量进行点积，结果是一个标量

-张量外积：两个不同阶数的张量进行外积，结果是一个更高阶的张量

-张量缩并：将张量的两个指标进行求和，结果是一个低阶的张量

向量场的概念

定义

向量场是指在空间中每个点都对应一个向量，该向量的大小和方向随空间位置变化而变化。

物理意义