专题01与直线有关的四种对称问题（解析版）.docx

专题01与直线有关的四种对称问题

题型01点关于点对称

【典例分析】

【例1-1】（高二上·北京西城·期中）点关于原点的对称点为，则为（????）．

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，，

．

【例1-2】（高二上·广东揭阳·期末）点和点关于点的对称点都在直线的同侧，则的取值范围是．

【答案】

【分析】先求得关于的对称点，根据题意列出不等式，即可求解.

【详解】设点的坐标为，且，

因为关于点对称，可得，解得，即，

因为在直线的同侧，可得，

即，解得或.

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

【例1-3】（高二·全国·课后作业）已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是.

【答案】

【分析】根据对称性，结合中点坐标公式、两点间距离公式进行求解即可.

【详解】根据中点坐标公式，得，且．

解得，，所以点P的坐标为，

则点到原点的距离．

故答案为：

【变式演练】

【变式1-1】（高一·全国·单元测试）已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()

A．4 B．

C． D．

【答案】D

【详解】因为点关于点对称，所以有，解得．所以点到原点的距离为，故选D

【变式1-2】（2022高二·江苏·专题练习）点关于点对称的点的坐标为．

【答案】

【分析】由中点坐标公式求解即可

【详解】设点关于点对称的点为，

则点为的中点．

解得．

点关于点对称的点的坐标为．

故答案为：．

【变式1-3】（21-22高二上·全国·课后作业）点关于点对称，则．

【答案】

【分析】由中点坐标公式得出，再有距离公式求解即可.

【详解】由已知得，解得，即，

故答案为：

题型02点关于线对称

【典例分析】

【例2-1】（22-23高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（????）

A．直线过,的中点 B．直线的斜率为

C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是

【答案】B

【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案.

【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确；

对于B，直线的斜率为，故B错误；

对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3????，故C正确；

对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确.

故选：B

【例2-2】（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为.

【答案】

【分析】

求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可.

【详解】设关于的对称点，

则有，解得，即，

反射光线所在直线为：，

整理得：.

故答案为：

【例2-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为．

(1)求点关于直线的对称点的坐标；

(2)求第三个顶点的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可；

（2）根据点关于直线对称列方程组求点即可.

【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为，

则有，解得，故点的坐标为

（2）设，则有，解得，故点的坐标为.

【变式演练】

【变式2-1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.

【详解】由题意，

在直线中，斜率为，

垂直于直线且过点的直线方程为，即，

设两直线交点为，

由，解得：，

∴,

∴点关于直线的对称点的坐标为，

即，

故选：C.

【变式2-2】（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为．

【答案】

【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程.

【详解】设直线l的的斜率为k，

则，

直线的中点坐标为，

所以由点斜式写出直线方程为，即.

故答案为：.

【变式2-3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点

(1)请写出过点且与直线平行的直线；

(2)求点关于直线的对称点的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设过点且与直线平行的直线为，再将点的坐标代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，设，列出方程，代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为，

将代入，可得，所以直线方程为.

（2）设，由题意可得，解得，

所以点的坐标为

题型03线关于点对称

【典例分析】

【例3-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（????）

A．2 B．6 C． D．

【答案】A

【分析】