专题02与直线有关的三种最值问题（原卷版）.docx

专题02与直线有关的三种最值问题

题型01两点间距离的最值问题

【典例分析】

【例1-1】（21-22高二上·四川绵阳·阶段练习）直线，直线与平行且经过点，则，之间距离的最大值是（????）

A．6 B．5 C．4 D．3

【例1-2】（24-25高二上·全国·课后作业）直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是．

【例1-3】（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线．

(1)直线是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.

(2)求点到直线的距离的最大值．

【变式演练】

【变式1-1】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】（2023高二上·全国·专题练习）点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是．

【变式1-3】（23-24高二上·贵州六盘水·期中）已知直线（为任意实数），直线.

(1)当时，求的值；

(2)过点作直线的垂线，垂足为Q，求点Q到直线的距离的最大值.

题型02与距离之和（差）有关的最值问题

【典例分析】

【例2-1】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（???）

A． B． C． D．

【例2-2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为.

【例2-3】（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知直线l：.

(1)直线l交x轴于A，交y轴于B，求△AOB的面积为S(O为坐标原点)；

(2)在直线l求一点P，使它分别到点的距离和最小并求最小值.

【变式演练】

【变式2-1】（22-23高二上·广西河池·阶段练习）设，动直线与分别过定点，若与的交点为，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

【变式2-2】（2023高二上·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是.

【变式2-3】．（21-22高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线：.

（1）求证：不论怎样变化，直线恒过定点；

（2）求坐标原点（0，0）到直线距离的最大值.

题型03与面积有关的最值问题

【典例分析】

【例3-1】（23-24高二上·湖北·阶段练习）直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（????）

A．6 B．12 C．18 D．24

【例3-2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为．

【例3-3】（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点．

(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；

(2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值．

【变式演练】

【变式3-1】（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（????）

A．8 B．9 C． D．20

【变式3-2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为．

【变式3-3】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线.

(1)求证：直线过定点；

(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；

(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.

一、单选题

1．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（????）

A． B． C． D．

2．（22-23高二上·吉林长春·期中）原点到直线：的距离的最大值为（????）

A．1 B． C． D．4

3．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）点到直线的距离的最大值（????）

A． B． C． D．

4．（22-23高二下·重庆南岸·期中）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（????）

A．1 B．2 C． D．

5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（????）

A． B． C． D．

6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（????）

A．； B．；

C．； D．；

7．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（????）

A． B． C．5 D．10

8．（22-23高二·江西·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（????）

A． B．4 C．5 D．6

二、多选题

9．（2023高二上·全国·专题练习）设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则下列关于