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数形结合：可视化演绎“数与运算”的一致性

摘要：“数与运算”的一致性主要包括数概念的一致性、运算意义的一致性、算理算法的一致性。在课堂教学中落实“数与运算”的一致性，需要教师在一定的学习时段灵活、统筹安排。在第二学段学习完整数除法单元内容后，教师可以设计“整数四则运算再认识”一课的教学，引导学生理解整数四则运算在算理和算法上的一致性。

关键词：数形结合；数与运算；一致性；算理；算法

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）指出：“数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，让学生进一步感悟运算的一致性。”“数与代数”领域包括“数与运算”和“数量关系”两大学习主题。“数与运算”是一个较为庞大的话题体系，包括三个方面：数概念的一致性、运算意义的一致性、算理算法的一致性。整数、小数、分数等数概念及其运算学习内容零散分布在各学段，跨度较大，需要教师灵活统整教学内容，让学生打通“数概念”与“数运算”内部之间的“隔断”，自主迁移经验。在第二学段学习完整数除法单元后，教师可以设计“整数四则运算再认识”一课的教学，引导学生理解整数四则运算在算理和算法上的一致性。

一、感受加减法相同计数单位的简单线性增减

加法是将不同两部分或几部分合并在一起的运算。减法、乘法、除法都是由加法衍生而来的。整数加法是四则运算的基础，需要学生理解透彻其算理和算法，然后类比迁移到其他运算中。

（一）整数计数：建构计数直观模型的十进制原理

数是对数量的抽象，认数的目的是解决计算问题。计数本身就是加法运算，如238是由2个百、3个十和8个一组成的，其实就是200+30+8=238，相邻计数单位之间因存在“十进制”的特殊关系而产生了特定的“位值”。

计数：2个百、3个十和8个一合起来是238。

计算：200+30+8=238。

为了数数方便，由“一个一个地数”到“一群一群地数”，整数计数便成为关于计数单位的加法运算。因此，对数概念的学习基础直接影响到数运算的算法算理理解。整数的计数单位有个、十、百、千、万等，每个计数单位都对应着一个数学模型。常用的数学模型有小棒、小正方体、小方块、计数器等，在小学阶段呈现的最大的可视化计数单位数学模型是由小正方体拼成的“万”，更大的单位则需要依据基本的计数单位去抽象推理。为了方便沟通“数与运算”的一致性，本文均选用平面方块图作为图例。

（二）整数加法：掌握启蒙计算图式的可视化表达

小学阶段的学生对算理理解的表象水平一般用三种图式表示：实物图式、半抽象图式和符号图式。在教学中，教师要给足时间让学生对算理进行可视化表达，使其能准确进行互译解读。例如，在“整数四则运算再认识”的课始，教师可以唤醒学生的加法算理。

师：请用你喜欢的方式表示“371+54”的计算过程。

生：我用估算，371≈380，54≈50，它们的和大约是四百。

生：我是用口算计算的，1+4=5，70+50=120，300+120+5=（300+100）+20+5=425。

生：我是通过贴方块图来计算的。

E：＼2023田田＼7-20＼辽宁教育·教研版202407＼LJ24-13-12.psd[4][2][5]

生：我画了数位图。

E：＼2023田田＼7-20＼辽宁教育·教研版202407＼LJ24-13-13.psd

生：我是用竖式计算的，[371+154425]。

师：仔细观察，你有什么发现？

生：相同计数单位上的数相加。

生：哪一位满“十”，就要向前一位进“1”。

生：通过方块图和数位图可以清楚地看出，十位满十向百位进“1”的过程。

师：整数加法是把相同计数单位上的数相加。这个过程可以写成371+54=3（百）+7（十）+1（一）+5（十）+4（一）=3（百）+（7+5）（十）+（1+4）（一）=3（百）+1（百）+2（十）+5（一）=425。

加法算理是最基础的算理，是四则运算以及其他所有运算的启蒙，对加法算理的理解在学生的整个运算中起着至关重要的作用。很多教师在教学中对计数比较重视，突出讲解，但在计算中却弱化了对计数单位的关注。在教学“数概念”与“数运算”两个内容时，很多教师存在“脱节”现象，多数计算教学会停留在运算技能上，采用竖式，按计算法则一位一位地相加，最后导致一部分学生只能快速计算出结果，却不清楚算理。因此，在阶段整理复习时，教师可以进行梳理，引导学生发现多位数加法和计数道理一样，仍然先计算分别有多少个计数单位，再通过“十进制”的计数原理得出结果。这既是对学习经验的激活，又是对前期存在的短板进行弥补。

（三）整数减法：关注逆向思维逻辑的进阶式生长

减法是加法的逆运算，教师可以