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在小学数学“图形与几何”领域建构问题解决模型的路径探析

摘要：在小学数学“图形与几何”领域的教学中引导学生运用几何直观和推理意识建构问题解决模型是一项重要学习任务。教师在教学中可以运用以下策略，帮助学生建构“图形与几何”问题解决模型：采用问题引领，启发学生主动探究；在具身体验中，培养学生有序思考；利用数形结合，优化解决问题策略；在类比推理中，建构解决问题模型。

关键词：几何直观；具身探索；类比推理；问题解决模型

小学阶段，学生的思维以具体形象思维为主。在“图形与几何”领域的教学中，教师可利用可视化材料，引导学生借助几何直观，以观察为基本手段，充分感悟图形的特征。几何直观、观察思考是“图形与几何”学习的基本方法，其作用是为探索过程奠定基础，同时也可以让学生更好地体会图形知识的生成过程。同时，教师也要清醒地认识到，对想象力和思维的培养不仅是通过观察形成的，抽象几何的性质、关系和度量，还必须通过让学生具身操作来获得。同样，对于图形的认识，由直观辨认到系统认识，都是经历观察、比较、归纳、总结、概括特点的认知过程。基于以上思考，我们建构了“运用几何直观，在具身探索推理中建构问题解决模型”的教学路径（通称“图形与几何”问题解决教学路径），以期待对这类课的教学有一定的借鉴作用（如图1）。

下面以“包装中的学问”一课教学为例，谈一谈“运用几何直观，在具身探索推理中建构问题解决模型”的思考与实践。

一、问题引领，探究由“被动”到“主动”

问题引领可以帮助学生逐步学会更深入、更清晰、更全面、更合理地思考。所以，在数学教学中，教师应重视问题设计。在“包装中的学问”一课中，教师应立足学生已有的生活经验和学习起点，精心设计问题，使学生在问题引领下经历学习过程，有感悟才能有图分析、有话可说、有理可推。本节课主要围绕以下几个问题引发学生思考与交流。

问题1：如图2，这个牛奶盒类似于长6cm，宽4cm，高13cm的长方体。要包装这盒牛奶，至少需要多少包装纸？就是求长方体的什么？由于把一个牛奶盒实物图转化为类似的长方体，并引导学生通过观察平面图与相对应的数据，他们立刻理解了求包装1盒牛奶需要多少包装纸，就是求长方体的表面积。学生及时计算出牛奶盒的表面积，既复习了旧知，又为后面的探究验证埋下伏笔。

问题2：如图3，一箱牛奶有12盒，只能这样摆放吗？为什么生产厂家要这样摆放？有的学生说这样摆放是因为最节省包装纸，是这样吗？下面我们要做什么？（验证）。12盒牛奶如何摆放才最节省包装纸，请大家闭着眼睛在脑海里摆一摆，想一想，你有什么感觉？我们可以怎样做？（从简单出发，先研究2盒、3盒、4盒，看看能否从中找到最节省包装纸的规律）。

问题3：说说4盒牛奶可以怎么包装？你能根据刚才摆放的方法给这些包装分分类吗？为什么这样分？

问题4：请大家猜一猜哪种摆放方法最节省包装纸，我们应怎样验证自己的猜想？通过计算比较，你发现了什么？

问题5：遇到包装问题时是否都要把所有包装方法一一列举出来，再进行计算比较，才能找到最佳包装的方法？能不能探究出一种最节省包装纸的方法？

以上问题均能借助可视化实物和草图，充分调动学生学习的主动性和积极性，引发学生充分观察、深度思考、畅所欲言，彰显思维显性化。教师要让学生有足够的时间和空间经历观察、猜测、验证、计算、推理、建模等活动过程，使学生真正在问题引领中思考，在思考中感悟，在感悟中深入，以此提升思维层次。

二、具身体验，思考由“零乱”到“有序”

在探究由4个相同长方体组合成新的长方体时，虽然大部分学生通过小组合作动手摆4盒牛奶，并根据摆的实物图画出相对应的草图，一共得到6种包装方案，但此时学生的思维还是零乱无序的，思考还是片面的。为了让学生的思考从零乱到有序，思考由片面到全面，笔者展开了如下具身体验教学环节。

先让学生想一想4盒牛奶可以怎么摆。

合作要求：1人边说边摆，组员边观察边在表格里动手画图（轮流拼摆），比一比哪一组摆的方法多。

小组汇报补充，说一说是怎么摆的，小组一边展示所画的草图，一边说摆的方法（如图4）。

师：你能根据刚才汇报的摆法，给这6个图形分分类吗？说说为什么这样分？

学生通过观察交流发现：这6个图形的体积相等，都是由4个相同长方体组成的，即4=4×1×1=1×4×1=1×1×4=2×2×1=2×1×2=1×2×2，学生根据不同的排列组合方法，把6种叠放方法分为以下两类（如下页图5）。

师：你能依据刚才4盒牛奶叠放的分类方法，快速探究出6盒牛奶一共有多少种包装方法吗？12盒呢？（学生先独立尝试，再小组交流汇报）

教师在教学过程中，没有让学生仅仅停留在动手摆实物、画草图得出6种包装方案这一层面上，而是让学生继续思考并阐述摆的方法和特点，清晰感受到6种摆法的