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马尔科夫预测法的根本原理

马尔科夫预测法是马尔科夫过程和马尔科夫链在经济预测中的应用，所以要学习马尔科夫预测法之前，要先学习其根本原理。

马尔科夫过程

马尔科夫过程一种典型的随机过程。该过程是研究一个系统〔如一个地区、一个工厂〕的状况及其转移的理论。它是通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究，来确定状态的变化趋势，从而到达对未来进行预测的目的。

马尔科夫过程有两个根本特征：一是“无后效性”，即事物将来的状态及其出现的概率的大小，只取决于该事物现在所处的状态，而与以前时间的状态无关；二是“遍历性”，是指不管事物现在出于什么状态，在较长时间内，马尔科夫过程逐渐趋于稳定状况，而且与初始状况无关。

用数学语言描述马尔科夫过程就是：

设为随机过程，假设在时刻对观测得到相应的观测值满足条件

或

那么称此类过程为具有马尔科夫性质的过程或马尔科夫过程，简称马氏过程。其中

代表在的条件下时刻取值得条件分布函数。

假设把时刻看成“现在”，因为那么就可以看成“将来”，就当做“过去”。因此上述定义可表述为现在的状态取值为的条件下，将来状态的取值于过去状态的取值是无关的。

马尔科夫链

马尔科夫链是指时间和状态参数都是离散的马尔科夫过程，是最简单的马尔科夫过程。也就是说，一般的马尔科夫过程所研究的时间是无限的，是连续变量，其数值是连续不断的，相邻两值之间可做无限分割，且做研究的状态也是无限多的。而马尔科夫链的时间参数取离散数值。在经济预测中，一般的时间取的是日、月、季、年。同时马尔科夫链的状态也是有限的，只有可列个状态。例如市场销售状态可取“畅销”和“滞销”两种。用蛙跳的例子来说明就是：假定池中有N张荷叶，编号为1，2，3,……,N，即蛙跳可能有N个状态〔状态确知且离散〕。青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关〔无后效性成立〕。

用数学语言描述为：

假设随机过程满足条件:

(l)时间集合取非负整数集对应每个时刻，状态空间是离散集，记作，即是时间状态离散的。

(2)对任意的整数,条件概率满足：

那么称为马尔科夫链，并记

表示在时刻，系统处于状态的条件下,在时刻，系统处于状态下的概率。

条件概率等式，意即在时间的状态的概率只与时刻的状态有关，而与时以前的状态无关，它就是马氏性〔无后效性〕的数学表达式之一。

状态转移概率及其转移概率矩阵

一步转移概率矩阵

假设系统的状态空间为，而每一个时间系统只能处于其中一个状态，因此每一个状态都有个转向〔包括转向自身〕，即：

在时刻系统处于状态的条件下,在时刻系统处于状态下的条件概率可表示为：

特别的，

即系统在时刻系统处于状态的条件下,在时刻系统处于状态下的条件概率，称为由状态经一次转移到状态的转移概率。系统所有状态的一步转移概率的集合所组成的矩阵称为一步状态转移概率矩阵。其形式如下：

此矩阵具有以下两个性质：

非负性：

行元素和为1，即

步转移概率矩阵

由一步转移概率的定义可知，步转移概率为就是系统由状态经次转移到状态的概率，即可表示为

因此，系统的步转移概率矩阵就是由所有状态的步转移概率集合所组成的矩阵。其形式如下：

此矩阵具有以下两个性质：

非负性：

行元素和为1，即

一步转移概率矩阵和步转移概率矩阵的关系

由于步转移概率矩阵的概念，我们可知：